Проверить, являются ли функции гармоническими

Для решения этой задачи, сначала определим, что представляет собой гармоническая функция. Гармоническая функция - это функция, которая удовлетворяет уравнению Лапласа. Для функции двух переменных u(x, y) уравнение Лапласа записывается как:

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0.

Нам нужно проверить, является ли функция v = x + y гармонической. Найдем вторые частные производные функции v:

1. ∂v/∂x = 1,
2. ∂v/∂y = 1.

Теперь вторые производные:

1. ∂²v/∂x² = 0,
2. ∂²v/∂y² = 0.

Подставляем эти значения в уравнение Лапласа:

∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0 + 0 = 0.

Таким образом, функция v = x + y действительно является гармонической, потому что удовлетворяет уравнению Лапласа.

Теперь, чтобы найти аналитическую функцию w(z) = u(x, y) + iv(x, y), нам нужно определить другую гармоническую функцию u(x, y), такую, что она является сопряженной парой с v(x, y). Для этого мы воспользуемся уравнениями Коши-Римана, которые для функции w = u + iv имеют вид:

1. ∂u/∂x = ∂v/∂y,
2. ∂u/∂y = -∂v/∂x.

Подставим нашу функцию v = x + y в уравнения Коши-Римана:

1. ∂u/∂x = ∂(x + y)/∂y = 1,
2. ∂u/∂y = -∂(x + y)/∂x = -1.

Решим эти дифференциальные уравнения:

1. ∂u/∂x = 1 ⟹ u = x + f(y), где f(y) - произвольная функция, зависящая только от y.
2. Подставим во второе уравнение: ∂(x + f(y))/∂y = -1 ⟹ f'(y) = -1 ⟹ f(y) = -y + C, где C - константа.

Следовательно, u(x, y) = x - y + C.

Аналитическая функция w(z) = u(x, y) + iv(x, y) тогда будет иметь вид:

w(z) = (x - y + C) + i(x + y).

Мы нашли аналитическую функцию w(z), а также показали, что v = x + y является гармонической функцией.