Проверить, может ли она быть мнимой частью аналитической функции

Предмет: Комплексный анализ

Раздел: Аналитические функции

Дана функция:
 v = 1 - \frac{y}{x^2 + y^2} 

Необходимо проверить, может ли она быть мнимой частью аналитической функции  f(z) , и если да, восстановить всю функцию при условии  f(1) = 1 + i \cdot 1 .

1. Проверка условия Коши-Римана

Аналитическая функция  f(z) = u + iv  должна удовлетворять уравнениям Коши-Римана:

 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} 

Вычислим частные производные для  v :

 \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} 

 \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} 

Теперь найдем  u , если оно существует.

2. Поиск действительной части  u(x, y) 

Из уравнения Коши-Римана:

 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} 

Интегрируем по  x :

 u(x, y) = \int -\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} dx 

Этот интеграл приводит к:

 u = \frac{x}{x^2 + y^2} + C(y) 

Теперь используем второе уравнение Коши-Римана:

 \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} 

Подставляем:

 \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x}{x^2 + y^2} + C(y) \right) = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} 

Выполняя дифференцирование, получаем:

 -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} + C'(y) = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} 

Отсюда  C'(y) = 0 , значит,  C(y)  — константа.

Таким образом,  u(x, y) :

 u = \frac{x}{x^2 + y^2} + C 

3. Восстановление аналитической функции

Искомая функция:

 f(z) = u + iv = \frac{x}{x^2 + y^2} + C + i \left( 1 - \frac{y}{x^2 + y^2} \right) 

Перепишем в комплексной форме, используя  z = x + iy :

 f(z) = \frac{x + i(1 - y)}{x^2 + y^2} + C 

Заменяя  x = \operatorname{Re}(z)  и  y = \operatorname{Im}(z) , получаем:

 f(z) = \frac{z^* + i}{|z|^2} + C 

где  z^*  — комплексно-сопряженное число.

4. Определение константы  C 

Из условия  f(1) = 1 + i :

 \frac{1 + i}{1} + C = 1 + i 

Отсюда  C = 0 .

5. Итоговый ответ

Функция  f(z) :

 f(z) = \frac{z^* + i}{|z|^2} 

Таким образом, данная функция  v(x, y)  действительно является мнимой частью аналитической функции.