Привести функции к виду и по условиям Коши-Римана проверить, являются ли аналитическими функции

Данное задание относится к предмету "Комплексный анализ",

а именно к разделу, который занимается анализом аналитичности комплексных функций. Рассмотрим предложенную функцию:

W(z) = z^2 * conj(z), где z = x + iy, а conj(z) = x - iy. Здесь z — это комплексное число, а conj(z) — его комплексно сопряженное.

1. Выразим функцию через действительные и мнимые части:

z = x + iy
conj(z) = x - iy
z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy

Тогда:

z^2 * conj(z) = (x^2 - y^2 + 2ixy)(x - iy)

2. Раскроем скобки:

(x^2 - y^2 + 2ixy)(x - iy) = (x^2 - y^2)x + (x^2 - y^2)(-iy) + (2ixy)x + (2ixy)(-iy) = x^3 - x*y^2 - ix^2*y + i*y^3 + 2ix^2*y - 2xy^2

Упростим выражение:

x^3 - 3xy^2 + i(2x^2y - y^3)

3. Теперь функция записана в виде:

w(z) = u(x, y) + iv(x, y), где:
u(x, y) = x^3 - 3xy^2
v(x, y) = 2x^2y - y^3

4. Проверим условия Коши-Римана:

Для аналитичности функции должны выполняться условия Коши-Римана:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

Найдем частные производные:

∂u/∂x = 3x^2 - 3y^2
∂u/∂y = -6xy
∂v/∂x = 4xy
∂v/∂y = 2x^2 - 3y^2

Сравним:

3x^2 - 3y^2 ≠ 2x^2 - 3y^2
-6xy ≠ -4xy

Мы видим, что условия Коши-Римана не выполняются. Таким образом, функция:

W(z) = z^2 * conj(z)

не является аналитической в любой точке комплексной плоскости.

Резюмируя:

Функция W не аналитическая, так как она не удовлетворяет условиям Коши-Римана.