Представить два комплексных числа в показательной форме и найти их отношение

Предмет: Математика

Раздел: Комплексные числа

Задание:

Представить два комплексных числа ( z_1 = -\sqrt{2 + \sqrt{2}i} ) и ( z_2 = \sqrt{3 - i} ) в показательной форме и найти их отношение ( \frac{z_1}{z_2} ).

1. Представление комплексного числа в показательной форме

Комплексное число ( z = x + yi ) можно записать в показательной форме как: z = r e^{i \varphi},
где:

• ( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ) — модуль числа,
• ( \varphi = \text{arg}(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) ) — аргумент числа.

2. Преобразование ( z_1 )

Дано:
z_1 = -\sqrt{2 + \sqrt{2}i}.

a) Найдем модуль ( r_1 ):

r_1 = |z_1| = \sqrt{\left(-\sqrt{2}\right)^2 + \left(\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2.

b) Найдем аргумент ( \varphi_1 ):

Число ( z_1 ) находится во второй четверти (так как действительная часть отрицательна, а мнимая положительна). Аргумент равен:
\varphi_1 = \pi - \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

c) Показательная форма ( z_1 ):

z_1 = r_1 e^{i \varphi_1} = 2 e^{i \frac{3\pi}{4}}.

3. Преобразование ( z_2 )

Дано:
z_2 = \sqrt{3 - i}.

a) Найдем модуль ( r_2 ):

r_2 = |z_2| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.

b) Найдем аргумент ( \varphi_2 ):

Число ( z_2 ) находится в четвертой четверти (так как действительная часть положительна, а мнимая отрицательна). Аргумент равен:
\varphi_2 = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}.

c) Показательная форма ( z_2 ):

z_2 = r_2 e^{i \varphi_2} = 2 e^{-i \frac{\pi}{6}}.

4. Найдем отношение ( \frac{z_1}{z_2} )

a) Формула:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}.

b) Подставим значения:

r_1 = 2, \, r_2 = 2, \, \varphi_1 = \frac{3\pi}{4}, \, \varphi_2 = -\frac{\pi}{6}.
\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{2} e^{i \left(\frac{3\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)} = 1 \cdot e^{i \left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)}.

c) Приведем аргумент:

\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}.

d) Итог:

\frac{z_1}{z_2} = e^{i \frac{11\pi}{12}}.

Ответ:

• Показательная форма ( z_1 ): 2 e^{i \frac{3\pi}{4}}.
• Показательная форма ( z_2 ): 2 e^{-i \frac{\pi}{6}}.
• Отношение ( \frac{z_1}{z_2} ): e^{i \frac{11\pi}{12}}.