Определить вид кривой

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций и кривых

Дано уравнение:
z = 2e^{2i t} - \frac{1}{e^{2i t}}

Преобразуем выражение:

Распишем дробь:
\frac{1}{e^{2i t}} = e^{-2i t}

Тогда уравнение примет вид:
z = 2e^{2i t} - e^{-2i t}

Используем формулы Эйлера:
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta

Подставим:
e^{2i t} = \cos 2t + i\sin 2t
e^{-2i t} = \cos 2t - i\sin 2t

Тогда:
z = 2(\cos 2t + i\sin 2t) - (\cos 2t - i\sin 2t)

Раскрываем скобки:
z = 2\cos 2t + 2i\sin 2t - \cos 2t + i\sin 2t

Приводим подобные:
z = (2\cos 2t - \cos 2t) + i(2\sin 2t + \sin 2t)
z = \cos 2t + 3i\sin 2t

Обозначим z = x + iy, тогда:
x = \cos 2t
y = 3\sin 2t

Уравнение кривой:

Выразим t через тригонометрические функции:
\cos^2 2t + \sin^2 2t = 1

Подставим \sin 2t = \frac{y}{3} и \cos 2t = x:
x^2 + \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1

Домножим на 9:
9x^2 + y^2 = 9

Это уравнение эллипса с полуосями a = 3 и b = 1.

Ответ: Уравнение задает эллипс \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{9} = 1.