Определение вида кривой

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций и кривых

Рассмотрим данное уравнение:

 z = 2e^{2i t} - \frac{1}{e^{2i t}} 

Упрощение выражения

Перепишем дробь, используя свойство экспоненты:

 \frac{1}{e^{2i t}} = e^{-2i t} 

Тогда уравнение принимает вид:

 z = 2e^{2i t} - e^{-2i t} 

Заметим, что выражение  e^{2i t}  и  e^{-2i t}  можно связать с тригонометрическими функциями через формулы Эйлера:

 e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta 
 e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta 

Подставляем  \theta = 2t :

 e^{2i t} = \cos(2t) + i\sin(2t) 
 e^{-2i t} = \cos(2t) - i\sin(2t) 

Подставляем в выражение для  z :

 z = 2(\cos(2t) + i\sin(2t)) - (\cos(2t) - i\sin(2t)) 

Раскрываем скобки:

 z = 2\cos(2t) + 2i\sin(2t) - \cos(2t) + i\sin(2t) 

 z = (2\cos(2t) - \cos(2t)) + (2i\sin(2t) + i\sin(2t)) 

 z = \cos(2t) + 3i\sin(2t) 

Обозначим  z = x + iy , тогда:

 x = \cos(2t) 
 y = 3\sin(2t) 

Определение вида кривой

Выразим  x  и  y  через параметр  t  и попробуем исключить его:

Из первого уравнения:

 \cos(2t) = x 

Из второго:

 \sin(2t) = \frac{y}{3} 

Используем основное тригонометрическое тождество:

 \cos^2(2t) + \sin^2(2t) = 1 

Подставляем найденные выражения:

 x^2 + \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1 

Приведем к стандартному виду:

 \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{9} = 1 

Это уравнение эллипса с полуосями  a = 1  и  b = 3 .

Ответ:

Данная кривая является эллипсом с уравнением:

 \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{9} = 1