Найти значение выражения

Предмет: Комплексные числа

Раздел: Арифметика и алгебра комплексных чисел

Рассмотрим задачи по порядку.

Задача 1.

Найти значение выражения:
\left( \frac{1 - i}{1 + i} \right)^3

Решение:

1. Упростим дробь \frac{1 - i}{1 + i}, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое число знаменателя 1 - i:  \frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} 

2. Учитывая, что i^2 = -1, получаем: \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2i}{2} = -i

3. Возведём -i в куб:  (-i)^3 = (-i) \cdot (-i) \cdot (-i) = -i^3 

4. Зная, что i^3 = -i, получаем: -i^3 = -(-i) = i

Ответ: i

Задача 2.

Дано число в алгебраической форме:
z = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}
Найти модуль \rho и аргумент \varphi.

Решение:

1. Модуль числа \rho вычисляется по формуле:
   \rho = \sqrt{x^2 + y^2},
   где x = -\frac{1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}}{2}.

   Подставим значения:
    \rho = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 

2. Аргумент \varphi определяется как угол в тригонометрической плоскости:
   \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right).

   Здесь x = -\frac{1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}}{2}.
   Подставим:
    \varphi = \arctan\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) 

   Учитывая, что точка z лежит во второй четверти, угол:
   \varphi = \frac{2\pi}{3}.

Ответ:
\rho = 1, \varphi = \frac{2\pi}{3}

Задача 3.

Дано:
z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}}
Найти действительную и мнимую части: \text{Re}(z), \text{Im}(z).

Решение:

1. Представим число в тригонометрической форме:
    z = \sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) 

2. Вычислим \cos\frac{\pi}{6} и \sin\frac{\pi}{6}:
   \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.

3. Подставим значения:
    z = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} 

4. Действительная часть:
   \text{Re}(z) = \frac{\sqrt{6}}{2}
   Мнимая часть:
   \text{Im}(z) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Ответ:
\text{Re}(z) = \frac{\sqrt{6}}{2}, \text{Im}(z) = \frac{\sqrt{2}}{2}