Найти все значения Z и изобразить их на комплексной плоскости (написать код на питоне)

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа (корни комплексного числа)

Задание:

Найти все значения комплексного числа
z = \sqrt[4]{4 - 4i}
и изобразить их на комплексной плоскости.

Шаг 1: Представим число в тригонометрической форме

Дано:
z = \sqrt[4]{4 - 4i}

Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме.
Пусть w = 4 - 4i

Найдем модуль: |w| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Найдем аргумент (угол): \arg(w) = \arctan\left(\frac{-4}{4}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}

Таким образом: w = 4\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

Шаг 2: Найдём все четвёртые корни

Формула корней комплексного числа: z_k = \sqrt[4]{r} \cdot \left[\cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2\pi k}{4}\right)\right], \quad k = 0, 1, 2, 3

Подставим:

• r = 4\sqrt{2}
• \theta = -\frac{\pi}{4}

Модуль корня: \sqrt[4]{4\sqrt{2}} = \sqrt[4]{4 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt[4]{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt[4]{2^{2.5}} = 2^{2.5/4} = 2^{5/8}

Теперь вычислим значения для k = 0, 1, 2, 3

Шаг 3: Python-код для вычисления и построения

import cmath
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Дано комплексное число
w = complex(4, -4)

# Найдем модуль и аргумент
r, theta = cmath.polar(w)

# Степень корня
n = 4

# Модуль корня
root_mod = r**(1/n)

# Найдем все 4 корня
roots = []
for k in range(n):
    angle = (theta + 2 * np.pi * k) / n
    z = cmath.rect(root_mod, angle)
    roots.append(z)
    print(f'z{k} = {z:.4f}')

# Построим на комплексной плоскости
plt.figure(figsize=(6,6))
for z in roots:
    plt.plot(z.real, z.imag, 'o', label=f'{z:.2f}')
    plt.text(z.real + 0.1, z.imag, f'{z:.2f}')

plt.axhline(0, color='black')
plt.axvline(0, color='black')
plt.grid(True)
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
plt.title('Корни уравнения $z = \\sqrt[4]{4 - 4i}$')
plt.xlabel('Re')
plt.ylabel('Im')
plt.legend()
plt.show()

Ответ:

Число z = \sqrt[4]{4 - 4i} имеет 4 комплексных корня, которые лежат на окружности радиуса 2^{5/8} и равномерно распределены по кругу, начиная с угла -\frac{\pi}{16}.

Код выше находит и строит эти корни на комплексной плоскости.