Найти все комплексные значения во втооой координатной четверти

Предмет: Алгебра (Раздел: Комплексные числа и корни из комплексных чисел)

Условие: Необходимо найти все комплексные значения кубического корня из числа \( 27 \), находящиеся во второй координатной четверти.

Для начала решим основную задачу — найдем все комплексные значения \( \sqrt[3]{27} \).

1. Вычисление кубического корня из 27 на комплексной плоскости:

Модуль и аргумент числа \( 27 \) можно записать так:

\[ 27 = 27 + 0i \text{, то есть реальное число}. \]

Модуль числа \( 27 \):

\[ r = |27| = 27. \]

Аргумент числа \( 27 \) на комплексной плоскости равен нулю, так как \( 27 \) — это положительное число на действительной оси:

\[ \varphi = 0. \]

Теперь выражаем число \( 27 \) в тригонометрической форме:

\[ 27 = 27 \left( \cos 0 + i \sin 0 \right). \]

Найдём кубический корень из \( 27 \) в тригонометрической форме. Формула для нахождения корней в комплексной форме (формула Муавра) выглядит так:

\[ \sqrt[3]{r} = \sqrt[3]{27} = 3, \quad \text{а аргументы корня будут получаться по формуле:} \quad \varphi_k = \frac{\varphi + 2\pi k}{3}, \quad k = 0, 1, 2. \]

Теперь вычислим значения:

• Для \( k = 0 \):

\[ \varphi_0 = \frac{0}{3} = 0. \]

Кубический корень:

\[ z_0 = 3 \left( \cos 0 + i \sin 0 \right) = 3. \]

• Для \( k = 1 \):

\[ \varphi_1 = \frac{0 + 2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}. \]

Кубический корень:

\[ z_1 = 3 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right). \]

Значения косинуса и синуса для угла \( \frac{2\pi}{3} \):

\[ \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Таким образом:

\[ z_1 = 3 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}. \]

• Для \( k = 2 \):

\[ \varphi_2 = \frac{0 + 4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}. \]

Кубический корень:

\[ z_2 = 3 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right). \]

Значения косинуса и синуса для угла \( \frac{4\pi}{3} \):

\[ \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Таким образом:

\[ z_2 = 3 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{3}{2} - i \frac{3\sqrt{3}}{2}. \]

2. Комплексные числа во второй координатной четверти:

Во второй четверти аргумент числа должен быть между \( \frac{\pi}{2} \) и \( \pi \), и действительная часть числа должна быть отрицательной, а мнимая — положительной. Единственным числом, которое удовлетворяет этим условиям, является:

3. Ответ:

Комплексное значение кубического корня из 27, которое находится во второй координатной четверти:

\[ z_1 = -\frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}. \]