Найти такие значения которые удовлетворяют этим уравнениям принадлежат множеству вещественных чисел

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа, решение систем уравнений

Подробное решение:

Дано три уравнения с комплексными коэффициентами. Требуется найти такие значения (x) и (y), которые удовлетворяют этим уравнениям. (x) и (y) принадлежат множеству вещественных чисел ((\mathbb{R})).

Уравнение 1:

[ (1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i ]

1. Разделим уравнение на вещественную и мнимую части: [ x + ix + 2y + iy = 5 + 3i ] Сгруппируем вещественные и мнимые части: [ (x + 2y) + i(x + y) = 5 + 3i ]

2. Приравниваем отдельно вещественные и мнимые части: [ x + 2y = 5 \quad \text{(1.1)} ] [ x + y = 3 \quad \text{(1.2)} ]

Уравнение 2:

[ 2x + (1 + i)(x + y) = 7 + i ]

1. Раскроем скобки: [ 2x + (x + y) + i(x + y) = 7 + i ] [ (2x + x + y) + i(x + y) = 7 + i ] Сгруппируем вещественные и мнимые части: [ (3x + y) + i(x + y) = 7 + i ]

2. Приравниваем отдельно вещественные и мнимые части: [ 3x + y = 7 \quad \text{(2.1)} ] [ x + y = 1 \quad \text{(2.2)} ]

Уравнение 3:

[ (3 - y + x)(1 + i) + (x - y)(2 + i) = 6 - 3i ]

1. Раскроем скобки: [ [(3 - y + x) + i(3 - y + x)] + [(2x - 2y) + i(x - y)] = 6 - 3i ] Сгруппируем вещественные и мнимые части: [ [(3 - y + x) + (2x - 2y)] + i[(3 - y + x) + (x - y)] = 6 - 3i ] [ [(3 + x - y) + (2x - 2y)] + i[(3 + x - y) + (x - y)] = 6 - 3i ] Упростим: [ (3 + 3x - 3y) + i(3 + 2x - 2y) = 6 - 3i ]

2. Приравниваем отдельно вещественные и мнимые части: [ 3 + 3x - 3y = 6 \quad \text{(3.1)} ] [ 3 + 2x - 2y = -3 \quad \text{(3.2)} ]

Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть 6 уравнений:

1. (x + 2y = 5 \quad \text{(1.1)})
2. (x + y = 3 \quad \text{(1.2)})
3. (3x + y = 7 \quad \text{(2.1)})
4. (x + y = 1 \quad \text{(2.2)})
5. (3 + 3x - 3y = 6 \quad \text{(3.1)})
6. (3 + 2x - 2y = -3 \quad \text{(3.2)})

Рассмотрим первую пару уравнений: [ x + 2y = 5 \quad \text{(1.1)} ] [ x + y = 3 \quad \text{(1.2)} ]

Вычтем (1.2) из (1.1): [ (x + 2y) - (x + y) = 5 - 3 ] [ y = 2 ]

Подставим (y = 2) в (1.2): [ x + 2 = 3 ] [ x = 1 ]

Таким образом, (x = 1), (y = 2).

Проверим вторую пару уравнений: [ 3x + y = 7 \quad \text{(2.1)} ] [ x + y = 1 \quad \text{(2.2)} ]

Вычтем (2.2) из (2.1): [ (3x + y) - (x + y) = 7 - 1 ] [ 2x = 6 ] [ x = 3 ]

Подставим (x = 3) в (2.2): [ 3 + y = 1 ] [ y = -2 ]

Таким образом, (x = 3), (y = -2).

Рассмотрим третью пару уравнений: [ 3 + 3x - 3y = 6 \quad \text{(3.1)} ] [ 3 + 2x - 2y = -3 \quad \text{(3.2)} ]

Упростим (3.1): [ 3x - 3y = 3 \quad \text{(3.1')} ]

Упростим (3.2): [ 2x - 2y = -6 \quad \text{(3.2')} ]

Разделим (3.2') на 2: [ x - y = -3 \quad \text{(3.2'')} ]

Из (3.1') выразим (x): [ x = y + 1 \quad \text{(3.1'')} ]

Подставим (x = y + 1) в (3.2''): [ (y + 1) - y = -3 ] [ 1 = -3 ]

Таким образом, система не имеет общих решений.