Найти наименьшее значение выражения

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа, Геометрия на комплексной плоскости

Задача:
Найти наименьшее значение выражения
|z - i| + |z - 2 - 3i|

Пояснение:

Пусть z = x + iy — произвольное комплексное число. Тогда:

• |z - i| = |x + i(y - 1)| = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}
• |z - 2 - 3i| = |(x - 2) + i(y - 3)| = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}

Итак, выражение превращается в сумму расстояний от точки z = x + iy до двух фиксированных точек на комплексной плоскости:

• A = i = 0 + i
• B = 2 + 3i

Искомое выражение: |z - i| + |z - (2 + 3i)|

Это классическая геометрическая задача: найти точку z на комплексной плоскости, сумма расстояний от которой до двух фиксированных точек минимальна.

Геометрическая интерпретация:

Минимум суммы расстояний от точки z до двух других точек достигается, когда z лежит на отрезке, соединяющем эти две точки.

То есть, минимум выражения достигается, когда точка z лежит на отрезке AB, где
A = i,
B = 2 + 3i.

В этом случае сумма расстояний |z - A| + |z - B| равна длине отрезка AB.

Найдём длину отрезка AB:

 |A - B| = |i - (2 + 3i)| = |-2 - 2i| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} 

Ответ:

Наименьшее значение выражения |z - i| + |z - 2 - 3i| равно
2\sqrt{2}.

✅ Ответ: 2\sqrt{2}