Найти модуль и аргумент чисел. Изобразить числа на комплексной плоскости

Предмет: Математика

Раздел: Комплексные числа

Даны комплексные числа:
z_1 = 7 + i
z_2 = 1 + 7i

1. Найдем модуль чисел

Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле:
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

• Для z_1 = 7 + i:
  |z_1| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

• Для z_2 = 1 + 7i:
  |z_2| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

2. Найдем аргумент чисел

Аргумент комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле:
\arg z = \arctan \frac{b}{a}

• Для z_1 = 7 + i:
  \arg z_1 = \arctan \frac{1}{7}

• Для z_2 = 1 + 7i:
  \arg z_2 = \arctan \frac{7}{1} = \arctan 7

3. Представим числа в тригонометрической форме

Тригонометрическая форма комплексного числа:
z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),
где r = |z|, а \varphi = \arg z.

• Для z_1:
  z_1 = 5\sqrt{2} \left(\cos \arctan \frac{1}{7} + i \sin \arctan \frac{1}{7} \right)

• Для z_2:
  z_2 = 5\sqrt{2} \left(\cos \arctan 7 + i \sin \arctan 7 \right)

4. Представим числа в показательной форме

Показательная форма комплексного числа:
z = r e^{i \varphi}

• Для z_1:
  z_1 = 5\sqrt{2} e^{i \arctan \frac{1}{7}}

• Для z_2:
  z_2 = 5\sqrt{2} e^{i \arctan 7}

5. Изображение на комплексной плоскости

Числа z_1 и z_2 можно изобразить как точки с координатами:

• z_1 = (7, 1)
• z_2 = (1, 7)

Они находятся в первой четверти комплексной плоскости.