Найти модуль и аргумент чисел

Предмет: Математика

Раздел: Комплексные числа

Решение задачи

Часть а) Найти модуль и аргумент чисел ( z_1 = 3 + 3i ) и ( z_2 = 4 - 3i )

Модуль комплексного числа ( z = a + bi ) вычисляется по формуле:
 |z| = \sqrt{a^2 + b^2} 

Для ( z_1 = 3 + 3i ):
 |z_1| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} 

Для ( z_2 = 4 - 3i ):
 |z_2| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 

Аргумент комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как:
 \arg z = \arctan \frac{b}{a} 

Для ( z_1 = 3 + 3i ):
 \arg z_1 = \arctan \frac{3}{3} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} 

Для ( z_2 = 4 - 3i ):
 \arg z_2 = \arctan \frac{-3}{4} \approx -0.6435 \text{ рад} 

Представление в тригонометрической форме

Формула тригонометрической формы:
 z = |z| \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) 

Для ( z_1 ):
 z_1 = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) 

Для ( z_2 ):
 z_2 = 5 \left( \cos (-0.6435) + i \sin (-0.6435) \right) 

Представление в показательной форме

Формула показательной формы:
 z = |z| e^{i \varphi} 

Для ( z_1 ):
 z_1 = 3\sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}} 

Для ( z_2 ):
 z_2 = 5 e^{-i 0.6435} 

Часть б) Вычисления

1. Произведение ( z_1 \cdot \overline{z_2} )

Комплексное сопряжённое числа ( z_2 = 4 - 3i ) — это ( \overline{z_2} = 4 + 3i ).
Тогда:
 z_1 \cdot \overline{z_2} = (3 + 3i)(4 + 3i) 

Раскрываем скобки:
 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot 3i = 12 + 9i + 12i + 9i^2 

Так как ( i^2 = -1 ), то:
 12 + 9i + 12i - 9 = 3 + 21i 

2. Возведение в квадрат ( \left( \frac{z_1}{z_2} \right)^2 )

Сначала найдём частное:
 \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 3i}{4 - 3i} 

Домножаем на сопряжённое знаменателя:
 \frac{(3 + 3i)(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)} 

Вычисляем знаменатель:
 4^2 - (-3i)^2 = 16 - 9(-1) = 16 + 9 = 25 

Вычисляем числитель:
 3\cdot4 + 3\cdot3i + 3i\cdot4 + 3i\cdot3i = 12 + 9i + 12i + 9i^2 
 = 12 + 9i + 12i - 9 = 3 + 21i 

Тогда:
 \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 21i}{25} = \frac{3}{25} + \frac{21}{25}i 

Возводим в квадрат:
 \left( \frac{3}{25} + \frac{21}{25}i \right)^2 

Используем формулу квадрата суммы:
 \left( \frac{3}{25} \right)^2 + 2 \cdot \frac{3}{25} \cdot \frac{21}{25} i + \left( \frac{21}{25} i \right)^2 

 = \frac{9}{625} + \frac{126}{625}i + \frac{441}{625}i^2 

Так как ( i^2 = -1 ), то:
 \frac{9}{625} + \frac{126}{625}i - \frac{441}{625} 

 = \frac{-432}{625} + \frac{126}{625}i 

3. Корень четвёртой степени ( \sqrt[4]{\overline{z_1} + \overline{z_2} - 1} )

Находим сопряжённые:
 \overline{z_1} = 3 - 3i, \quad \overline{z_2} = 4 + 3i 

Сумма:
 \overline{z_1} + \overline{z_2} - 1 = (3 - 3i) + (4 + 3i) - 1 
 = 3 + 4 - 1 + (-3i + 3i) = 6 

Корень четвёртой степени:
 \sqrt[4]{6} \approx 1.57 

Ответ:

1. Модули:
    |z_1| = 3\sqrt{2}, \quad |z_2| = 5 
2. Аргументы:
    \arg z_1 = \frac{\pi}{4}, \quad \arg z_2 \approx -0.6435 
3. Тригонометрическая форма:
    z_1 = 3\sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) 
    z_2 = 5 (\cos (-0.6435) + i \sin (-0.6435)) 
4. Показательная форма:
    z_1 = 3\sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}, \quad z_2 = 5 e^{-i 0.6435} 
5. Вычисления:
    z_1 \cdot \overline{z_2} = 3 + 21i 
    \left( \frac{z_1}{z_2} \right)^2 = \frac{-432}{625} + \frac{126}{625}i 
    \sqrt[4]{\overline{z_1} + \overline{z_2} - 1} \approx 1.57