Найти комплексный корень, лежащий в III-ей координатной четверти

Предмет: Математика

Разделы:

1. Комплексные числа.
2. Пределы функции.

Задание 2: Найти комплексный корень \( \sqrt[4]{-1} \), лежащий в III-ей координатной четверти.

Шаг 1: Представление числа в тригонометрической форме

Число \(-1\) на комплексной плоскости можно представить в виде:
\[ -1 = 1 \cdot \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) \]
То есть, \(-1\) имеет модуль \(1\) и аргумент \(\pi\).

Шаг 2: Формула для корня степени \(n\) из комплексного числа

Корень n-й степени из комплексного числа находится по формуле:
\[ z = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right) \]
где \(r\) — модуль числа (здесь \(1\)), \(\varphi\) — аргумент числа \(\arg(z)\), \(n = 4\), и \(k = 0, 1, 2, 3\) (возможные значения для поиска всех корней).

Шаг 3: Вычисляем корни

Для \(r = 1\) и \(\varphi = \pi\) находим 4 корня:
\[ z_k = \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \]
Теперь рассматриваем значения \(k = 0, 1, 2, 3\):

1. Для \(k = 0\):
   \[ z_0 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \]
   Это корень, находящийся в первой четверти.
2. Для \(k = 1\):
   \[ z_1 = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \]
   Это корень, находящийся во второй четверти.
3. Для \(k = 2\):
   \[ z_2 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \]
   Это корень, находящийся в третьей четверти.
4. Для \(k = 3\):
   \[ z_3 = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \]
   Этот корень находится в четвертой четверти.

Ответ:

Комплексный корень, лежащий в III координатной четверти:
\[ z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Задание 3: Найти предел функции \[ \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-1}\right)^{2-3x} \]

Шаг 1: Упростим отношение \(\frac{x}{x-1}\)

Рассмотрим выражение:
\[ \frac{x}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1} \]
Когда \(x \to \infty\), \(\frac{1}{x-1} \to 0\), значит:
\[ \frac{x}{x-1} \to 1 \]

Шаг 2: Учисляем показатель степени

Теперь рассмотрим показатель \(2 - 3x\). При \(x \to \infty\), очевидно, что \(2 - 3x \to -\infty\). Таким образом, у нас есть неопределенность вида:
\[ 1^{-\infty}, \]
которую нужно раскрыть через логарифмирование.

Шаг 3: Преобразуем через экспоненту и логарифмы

Преобразуем предел:
\[ \left(1 + \frac{1}{x-1}\right)^{2-3x} = \exp\left( (2-3x) \ln \left(1 + \frac{1}{x-1}\right) \right) \]
При \(x \to \infty\), применим разложение для натурального логарифма при малых значениях аргумента:
\[ \ln \left(1 + \frac{1}{x-1} \right) \approx \frac{1}{x-1} \]
Тогда предел преобразуется в:
\[ \exp\left( (2 - 3x) \cdot \frac{1}{x-1} \right) \]
Когда \(x \to \infty\), выражение \(\frac{2-3x}{x-1}\) стремится к \(-3\). Значит, предел превращается в:
\[ \exp(-3) = e^{-3} \]

Ответ:

Таким образом, решены два задания:

1. Комплексный корень \( \sqrt[4]{-1} \) в III четверти: \( z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
2. Предел выражения: \( \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-1}\right)^{2 - 3x} = \frac{1}{e^3} \).