Найти аргумент комплексного числа

Это задание относится к теме комплексных чисел в разделе комплексного анализа или математического анализа. Нам нужно найти аргумент комплексного числа \( z \). Комплексное число \( z = (1 - i)^7 \), где \( i \) — это мнимая единица.

Шаг 1: Преобразование \( 1 - i \) в полярную форму

Чтобы найти аргумент числа \( z = (1 - i)^7 \), сначала нужно представить число \( 1 - i \) в полярной форме, то есть в виде:

\[ z = r \cdot (\cos \theta + i \cdot \sin \theta), \]

где \( r \) — модуль числа (длина вектора), а \( \theta \) — его аргумент (угол).

1.1. Найдём модуль числа \( 1 - i \):

\[ r = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}. \]

1.2. Найдём аргумент числа \( 1 - i \):

Аргумент числа можно найти зная его координаты на комплексной плоскости. Для числа \( 1 - i \), это точка \( (1, -1) \) на комплексной плоскости (действительная часть — \( 1 \), мнимая часть — \( -i \)).

Аргумент вычисляется как угол между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Для точки \( (1, -1) \) это угол в четвёртой координатной четверти. Используем формулу:

\[ \theta = \text{arg}(1 - i) = \arctan \left(\frac{-1}{1}\right) = \arctan(-1). \]

Так как угол находится в четвёртой четверти, аргумент будет:

\[ \theta = -\frac{\pi}{4}. \]

Шаг 2: Возведение в степень

Теперь мы знаем, что \( 1 - i = \sqrt{2} \cdot \left( \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \).

Используем формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень:

\[ ( r \cdot (\cos \theta + i \cdot \sin \theta) )^n = r^n \cdot (\cos (n\theta) + i \cdot \sin (n\theta)). \]

В нашем случае \( n = 7 \), \( r = \sqrt{2} \), и \( \theta = -\frac{\pi}{4} \).

\[ (1 - i)^7 = (\sqrt{2})^7 \cdot \left( \cos \left( 7 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) + i \cdot \sin \left( 7 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \right). \]

Сначала посчитаем \( r^7 \):

\[ (\sqrt{2})^7 = 2^{7/2} = 2^3 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}. \]

Теперь найдём новый аргумент:

\[ \theta_\text{new} = 7 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{7\pi}{4}. \]

Так как аргумент должен находиться в интервале \( (-\pi, \pi] \), приведём угол к нужному диапазону, добавив \( 2\pi \):

\[ -\frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4}. \]

Шаг 3: Ответ

Аргумент числа \( z = (1 - i)^7 \) равен:

\[ \text{arg}(z) = \frac{\pi}{4}. \]