Нахождения мнимой части произведения двух комплексных чисел

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа

Для нахождения мнимой части произведения двух комплексных чисел воспользуемся следующим методом:

Пусть два комплексных числа заданы как $[z_1=a+bi]$ и $[z_2=c+di]$, где $[a,b,c,d]$ — действительные числа. Тогда их произведение можно записать как:

$[z_1\cdot z_2=(a+bi)(c+di)]$.

Раскроем скобки, используя распределительное свойство:

$[z_1\cdot z_2=ac+adi+bci+bd{i}^2]$.

Поскольку $[i^2=-1]$, выражение упрощается до:

$[z_1\cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i]$.

Теперь мнимая часть произведения равна коэффициенту при $[i]$, то есть:

$[\text{Im}(z_1\cdot z_2)=ad+bc]$.

Дано:

$[z_1=-5-2i]$,
$[z_2=-4+2i]$.

Здесь:
$[a=-5]$, $[b=-2]$, $[c=-4]$, $[d=2]$.

Подставим значения в формулу для мнимой части:

$[\text{Im}(z_1\cdot z_2)=ad+bc]$,
$[\text{Im}(z_1\cdot z_2)=(-5)(2)+(-2)(-4)]$,
$[\text{Im}(z_1\cdot z_2)=-10+8]$,
$[\text{Im}(z_1\cdot z_2)=-2]$.

Ответ:

Мнимая часть произведения двух комплексных чисел равна $[-2]$.