Нахождения мнимой части произведения двух комплексных чисел

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа

Для нахождения мнимой части произведения двух комплексных чисел воспользуемся следующим методом:

Пусть два комплексных числа заданы как [z_1 = a + bi] и [z_2 = c + di], где [a, b, c, d] — действительные числа. Тогда их произведение можно записать как:

[z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di)].

Раскроем скобки, используя распределительное свойство:

[z_1 \cdot z_2 = ac + adi + bci + bdi^2].

Поскольку [i^2 = -1], выражение упрощается до:

[z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i].

Теперь мнимая часть произведения равна коэффициенту при [i], то есть:

[\text{Im}(z_1 \cdot z_2) = ad + bc].

Дано:

[z_1 = -5 - 2i],
[z_2 = -4 + 2i].

Здесь:
[a = -5], [b = -2], [c = -4], [d = 2].

Подставим значения в формулу для мнимой части:

[\text{Im}(z_1 \cdot z_2) = ad + bc],
[\text{Im}(z_1 \cdot z_2) = (-5)(2) + (-2)(-4)],
[\text{Im}(z_1 \cdot z_2) = -10 + 8],
[\text{Im}(z_1 \cdot z_2) = -2].

Ответ:

Мнимая часть произведения двух комплексных чисел равна [-2].