Нахождение модуля и аргумента комплексных чисел

Предмет: Математика

Раздел: Комплексные числа

Рассмотрим решение задания по частям.

Часть (а): Нахождение модуля и аргумента комплексных чисел

Даны комплексные числа:
z_1 = -4 + 3i
z_2 = 3 - 4i

Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа z = a + bi определяется как:
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Для числа z_1 = -4 + 3i:
|z_1| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Для числа z_2 = 3 - 4i:
|z_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа определяется как угол \varphi, задаваемый формулой:
\varphi = \arctan{\frac{b}{a}}

Для z_1 = -4 + 3i:
\varphi_1 = \arctan{\frac{3}{-4}}
Так как число находится во второй четверти, то
\varphi_1 = \pi + \arctan{\frac{3}{-4}}
Приблизительно:
\varphi_1 \approx \pi - 0.6435 \approx 2.498 (в радианах).

Для z_2 = 3 - 4i:
\varphi_2 = \arctan{\frac{-4}{3}}
Так как число находится в четвертой четверти, то
\varphi_2 = 2\pi + \arctan{\frac{-4}{3}}
Приблизительно:
\varphi_2 \approx -0.927 (в радианах).

Тригонометрическая форма записи

Комплексное число записывается в тригонометрической форме как:
z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)

Для z_1:
z_1 = 5 (\cos 2.498 + i \sin 2.498)

Для z_2:
z_2 = 5 (\cos (-0.927) + i \sin (-0.927))

Показательная форма записи

Комплексное число записывается в показательной форме как:
z = r e^{i \varphi}

Для z_1:
z_1 = 5 e^{i 2.498}

Для z_2:
z_2 = 5 e^{-i 0.927}

Часть (б): Вычисления с комплексными числами

1. Вычисление (z_1 \cdot z_2)^2

Сначала найдем произведение z_1 \cdot z_2:
z_1 \cdot z_2 = (-4 + 3i)(3 - 4i)

Используем распределительное свойство:
z_1 \cdot z_2 = -12 + 16i + 9i - 12i^2
Так как i^2 = -1, то:
z_1 \cdot z_2 = -12 + 16i + 9i + 12
z_1 \cdot z_2 = 25i

Теперь возведем в квадрат:
(z_1 \cdot z_2)^2 = (25i)^2 = 625 i^2 = -625

2. Вычисление \frac{z_2}{z_1}

\frac{z_2}{z_1} = \frac{3 - 4i}{-4 + 3i}

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя:
\frac{(3 - 4i)(-4 - 3i)}{(-4 + 3i)(-4 - 3i)}

В знаменателе:
(-4)^2 - (3i)^2 = 16 - 9i^2 = 16 + 9 = 25

В числителе:
-12 - 9i + 16i + 12i^2 = -12 - 9i + 16i - 12
-24 + 7i

Итак,
\frac{z_2}{z_1} = \frac{-24 + 7i}{25} = -\frac{24}{25} + \frac{7}{25}i

3. Вычисление \sqrt{z_1 + z_2}

Сначала найдем z_1 + z_2:
z_1 + z_2 = (-4 + 3i) + (3 - 4i) = -1 - i

Найдем модуль:
|z_1 + z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

Аргумент:
\varphi = \arctan{\frac{-1}{-1}} = \arctan{1} = -\frac{\pi}{4}

Корень:
\sqrt{z_1 + z_2} = \sqrt{\sqrt{2} e^{-i \pi/4}} = \sqrt{\sqrt{2}} e^{-i \pi/8}

Итак,
\sqrt{z_1 + z_2} = 2^{1/4} e^{-i \pi/8}

Ответы:

1. Модули: |z_1| = 5, |z_2| = 5
2. Аргументы: \varphi_1 = 2.498, \varphi_2 = -0.927
3. Тригонометрическая форма:
   • z_1 = 5 (\cos 2.498 + i \sin 2.498)
   • z_2 = 5 (\cos (-0.927) + i \sin (-0.927))
4. Показательная форма:
   • z_1 = 5 e^{i 2.498}
   • z_2 = 5 e^{-i 0.927}
5. Дополнительные вычисления:
   • (z_1 \cdot z_2)^2 = -625
   • \frac{z_2}{z_1} = -\frac{24}{25} + \frac{7}{25}i
   • \sqrt{z_1 + z_2} = 2^{1/4} e^{-i \pi/8}

Задание решено! 🎯