Изобразить на комплексной плоскости множество чисел, удовлетворяющих данному условию

Этот пример относится к предмету "Математика", а именно к его разделу "Комплексные числа и их геометрическое представление".

Постановка задачи:

Дано множество комплексных чисел \(z\), удовлетворяющих двум условиям:

1. |z - 4i| \leq 2
2. \(\text{Re}\, z \geq -1\)

Разбор условий:

1. Первое условие: Уравнение |z - 4i| \leq 2 — это геометрическое представление неравенства на комплексной плоскости.
   • Запишем комплексное число \( z \) как \( z = x + iy \), где \( x \) — действительная часть (\( \text{Re}(z) \)), а \( y \) — мнимая часть (\( \text{Im}(z) \)).
   • Значение |z - 4i| — это расстояние от числа \( z \) до числа \( 4i \) на комплексной плоскости.
   • Если |z - 4i| = r, мы получаем круг с центром в точке \( 0 + 4i \) (то есть \( (0, 4) \) в координатах) и радиусом \( r = 2 \). Неравенство |z - 4i| \leq 2 описывает область внутри этого круга, включая границу.
2. Второе условие: \(\text{Re}\, z \geq -1\) — это полуплоскость для всех точек, у которых действительная часть \( x \) больше либо равна -1. Это вертикальная прямая \( x = -1 \), и нас интересует область справа от этой прямой.

Итоговое множество:

Геометрически, множество комплексных чисел, удовлетворяющих данным условиям, — это пересечение:

• круга с центром в точке \( (0, 4) \) и радиусом 2,
• и области справа от прямой \( x = -1 \).

Построим множество на комплексной плоскости:

1. Нарисуем координатные оси: ось \( x \) (действительная часть числа \( z \)) и ось \( y \) (мнимая часть числа \( z \)).
2. Отметим точку \( (0, 4) \) на оси \( y \) как центр круга. Радиус круга равен 2, следовательно, круг будет охватывать точки от \( y = 2 \) до \( y = 6 \).
3. Нарисуем круг с центром в точке \( (0, 4) \) и радиусом 2 (область внутри и на границе круга).
4. Проведем вертикальную линию \( x = -1 \), которая соответствует условию \( \text{Re}\, z = -1 \). Нас интересует область справа от этой линии, включая саму линию.

Ответ:

Множество комплексных чисел, удовлетворяющее данному условию, — это часть круга радиуса 2 с центром в точке \( (0, 4) \), которая находится справа от линии \( x = -1 \). На рисунке эта область будет выглядеть следующим образом:

• круг с центром в точке \( (0, 4) \) и радиусом 2,
• область пересекается с полуплоскостью, где \( x \geq -1 \) — это правая часть круга, включая его границу.

Для лучшего представления вы можете построить это множество графически на комплексной плоскости по шагам, которые были описаны выше.