Изобразить на комплексной плоскости множество чисел, удовлетворяющих данному условию

Этот пример относится к предмету "Математика", а именно к его разделу "Комплексные числа и их геометрическое представление".

Постановка задачи:

Дано множество комплексных чисел $\text{(}z\text{)}$, удовлетворяющих двум условиям:

1. $|z-4i|\le 2$
2. $\text{(}\text{Re}z\ge -1\text{)}$

Разбор условий:

1. Первое условие: Уравнение $|z-4i|\le 2$ — это геометрическое представление неравенства на комплексной плоскости.
   • Запишем комплексное число $\text{(}z\text{)}$ как $\text{(}z=x+iy\text{)}$, где $\text{(}x\text{)}$ — действительная часть ($\text{(}\text{Re}(z)\text{)}$), а $\text{(}y\text{)}$ — мнимая часть ($\text{(}\text{Im}(z)\text{)}$).
   • Значение $|z-4i|$ — это расстояние от числа $\text{(}z\text{)}$ до числа $\text{(}4i\text{)}$ на комплексной плоскости.
   • Если $|z-4i|=r$, мы получаем круг с центром в точке $\text{(}0+4i\text{)}$ (то есть $\text{(}(0,4)\text{)}$ в координатах) и радиусом $\text{(}r=2\text{)}$. Неравенство $|z-4i|\le 2$ описывает область внутри этого круга, включая границу.
2. Второе условие: $\text{(}\text{Re}z\ge -1\text{)}$ — это полуплоскость для всех точек, у которых действительная часть $\text{(}x\text{)}$ больше либо равна -1. Это вертикальная прямая $\text{(}x=-1\text{)}$, и нас интересует область справа от этой прямой.

Итоговое множество:

Геометрически, множество комплексных чисел, удовлетворяющих данным условиям, — это пересечение:

• круга с центром в точке $\text{(}(0,4)\text{)}$ и радиусом 2,
• и области справа от прямой $\text{(}x=-1\text{)}$.

Построим множество на комплексной плоскости:

1. Нарисуем координатные оси: ось $\text{(}x\text{)}$ (действительная часть числа $\text{(}z\text{)}$) и ось $\text{(}y\text{)}$ (мнимая часть числа $\text{(}z\text{)}$).
2. Отметим точку $\text{(}(0,4)\text{)}$ на оси $\text{(}y\text{)}$ как центр круга. Радиус круга равен 2, следовательно, круг будет охватывать точки от $\text{(}y=2\text{)}$ до $\text{(}y=6\text{)}$.
3. Нарисуем круг с центром в точке $\text{(}(0,4)\text{)}$ и радиусом 2 (область внутри и на границе круга).
4. Проведем вертикальную линию $\text{(}x=-1\text{)}$, которая соответствует условию $\text{(}\text{Re}z=-1\text{)}$. Нас интересует область справа от этой линии, включая саму линию.

Ответ:

Множество комплексных чисел, удовлетворяющее данному условию, — это часть круга радиуса 2 с центром в точке $\text{(}(0,4)\text{)}$, которая находится справа от линии $\text{(}x=-1\text{)}$. На рисунке эта область будет выглядеть следующим образом:

• круг с центром в точке $\text{(}(0,4)\text{)}$ и радиусом 2,
• область пересекается с полуплоскостью, где $\text{(}x\ge -1\text{)}$ — это правая часть круга, включая его границу.

Для лучшего представления вы можете построить это множество графически на комплексной плоскости по шагам, которые были описаны выше.