Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах

Предмет: Математика
Раздел: Комплексные числа

Дано комплексное число:
z = 2 - i.

1. Запишем число z в алгебраической и тригонометрической формах:

Алгебраическая форма:

Алгебраическая форма уже дана:
z = 2 - i,
где вещественная часть \text{Re}(z) = 2, а мнимая часть \text{Im}(z) = -1.

Тригонометрическая форма:

Тригонометрическая форма записывается как:
z = r \cdot (\cos{\varphi} + i \sin{\varphi}),
где:

• r — модуль комплексного числа,
• \varphi — аргумент комплексного числа.

1. Найдем модуль числа z:
   r = |z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

2. Найдем аргумент \varphi:
   Аргумент \varphi определяется как угол между вектором z и положительным направлением оси Ox.
   Формула для аргумента:
   \varphi = \arctan{\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)} = \arctan{\left(\frac{-1}{2}\right)}.

Так как z находится в четвертой четверти (вещественная часть положительная, мнимая отрицательная), аргумент \varphi остается отрицательным:
\varphi = -\arctan{\left(\frac{1}{2}\right)}.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
z = \sqrt{5} \cdot \left(\cos{(-\arctan{\frac{1}{2}})} + i \sin{(-\arctan{\frac{1}{2}})}\right).

2. Найдем 2z и 3z:

Умножение комплексного числа на скаляр:

Если z = a + bi, то kz = k(a + bi) = ka + kbi, где k — вещественное число.

1. Найдем 2z:
   2z = 2 \cdot (2 - i) = 4 - 2i.

2. Найдем 3z:
   3z = 3 \cdot (2 - i) = 6 - 3i.

Ответ:

1. Алгебраическая форма:
   z = 2 - i.

   Тригонометрическая форма:
   z = \sqrt{5} \cdot \left(\cos{(-\arctan{\frac{1}{2}})} + i \sin{(-\arctan{\frac{1}{2}})}\right).

2. 2z = 4 - 2i, 3z = 6 - 3i.