Все апельсины различны. Подробное решение. Используй формулы комбинаторики

Это задание по комбинаторике, которое является разделом математики.

Исходя из текста задания, необходимо решить две задачи:

1. Определить количество колец, которые можно сделать из пяти различных камней: опалов, изумрудов и аметистов, включая вариации с нулевым, четырьмя и семью камнями опалом.
2. Рассчитать количеством способами можно распределить 15 апельсинов на 5 детей так, чтобы у каждого ребенка остался хотя бы один апельсин.

Начнем с первой задачи.

Задача 1. Количество колец

Для нахождения количества возможных колец, мы должны рассмотреть все комбинации камней:

• Кольца с 0 опалами: Это кольцо могут составлять оставшиеся четыре или семь камней. Так как камни изумруды и аметисты разные, каждый из них может быть или не быть включенным в кольцо, что даёт нам 2^4 (для четырехкаменного кольца) и 2^7 (для семикаменного кольца) комбинаций соответственно.
• Кольца с 4 опалами: Мы включаем все опалы и выбираем один из остальных камней - изумруд или аметист, что даёт нам 2 возможные комбинации.
• Кольца с 7 опалами: В этом случае все камни в кольце - опалы, так что только одна возможность - кольцо из 7 опалов.

Давайте вычислим это:

С колец с 0 опалами: 2^4 + 2^7

С колец с 4 опалами: 2

С колец с 7 опалами: 1

Теперь сложим все варианты: (2^4 + 2^7) + 2 + 1 = 16 + 128 + 2 + 1 = 147 колец

Задача 2. Распределение апельсинов

Так как каждому ребёнку необходимо дать минимум по одному апельсину, начнем с выделения по одному для каждого из 5 детей. Это уменьшит общее количество апельсинов до 10 (15 - 5). Теперь нам нужно распределить оставшиеся 10 апельсинов на 5 детей без каких-либо ограничений. Эта задача является задачей о размещении с повторениями (также известной как задача о разделении неотличимых объектов), и она решается с помощью формулы количества сочетаний с повторениями: C(n + k - 1, k), где n - количество детей (получателей), а k - количество объектов для раздачи (апельсинов). Итак, для нашего случая n=5 и k=10, получаем: C(14, 10)

Чтобы найти C(14, 10), используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Подставляем наши значения: C(14, 10) = 14! / (10! * 4!) = (14 * 13 * 12 * 11) / (4 * 3 * 2 * 1) = (14 * 13 * 12 * 11) / (24) = 2002

Итак, можно распределить оставшиеся 10 апельсинов между 5 детьми 2002 способами.