Все апельсины различны. Подробное решение. Используй формулы комбинаторики

Это задание по комбинаторике, которое является разделом математики.

Исходя из текста задания, необходимо решить две задачи:

1. Определить количество колец, которые можно сделать из пяти различных камней: опалов, изумрудов и аметистов, включая вариации с нулевым, четырьмя и семью камнями опалом.
2. Рассчитать количеством способами можно распределить 15 апельсинов на 5 детей так, чтобы у каждого ребенка остался хотя бы один апельсин.

Начнем с первой задачи.

Задача 1. Количество колец

Для нахождения количества возможных колец, мы должны рассмотреть все комбинации камней:

• Кольца с 0 опалами: Это кольцо могут составлять оставшиеся четыре или семь камней. Так как камни изумруды и аметисты разные, каждый из них может быть или не быть включенным в кольцо, что даёт нам $2^4$ (для четырехкаменного кольца) и $2^7$ (для семикаменного кольца) комбинаций соответственно.
• Кольца с 4 опалами: Мы включаем все опалы и выбираем один из остальных камней - изумруд или аметист, что даёт нам 2 возможные комбинации.
• Кольца с 7 опалами: В этом случае все камни в кольце - опалы, так что только одна возможность - кольцо из 7 опалов.

Давайте вычислим это:

С колец с 0 опалами: $2^4+2^7$

С колец с 4 опалами: 2

С колец с 7 опалами: 1

Теперь сложим все варианты: $(2^4+2^7)+2+1=16+128+2+1=147$ колец

Задача 2. Распределение апельсинов

Так как каждому ребёнку необходимо дать минимум по одному апельсину, начнем с выделения по одному для каждого из 5 детей. Это уменьшит общее количество апельсинов до 10 (15 - 5). Теперь нам нужно распределить оставшиеся 10 апельсинов на 5 детей без каких-либо ограничений. Эта задача является задачей о размещении с повторениями (также известной как задача о разделении неотличимых объектов), и она решается с помощью формулы количества сочетаний с повторениями: $C(n+k-1,k)$, где n - количество детей (получателей), а k - количество объектов для раздачи (апельсинов). Итак, для нашего случая n=5 и k=10, получаем: $C(14,10)$

Чтобы найти $C(14,10)$, используем формулу сочетаний: $C(n,k)=n!/(k!\ast (n-k)!)$

Подставляем наши значения: $C(14,10)=14!/(10!\ast 4!)=(14\ast 13\ast 12\ast 11)/(4\ast 3\ast 2\ast 1)=(14\ast 13\ast 12\ast 11)/(24)=2002$

Итак, можно распределить оставшиеся 10 апельсинов между 5 детьми 2002 способами.