Все апельсины различны. Подробное решение. Используй формулы комбинаторики

Условие:

Все апельсины различны. Подробное решение. Используй формулы комбинаторики

Решение:

Это задание по комбинаторике, которое является разделом математики. Исходя из текста задания, необходимо решить две задачи: 1. Определить количество колец, которые можно сделать из пяти различных камней: опалов, изумрудов и аметистов, включая вариации с нулевым, четырьмя и семью камнями опалом. 2. Рассчитать количеством способами можно распределить 15 апельсинов на 5 детей так, чтобы у каждого ребенка остался хотя бы один апельсин. Начнем с первой задачи. **Задача 1. Количество колец** Для нахождения количества возможных колец, мы должны рассмотреть все комбинации камней: - Кольца с 0 опалами: Это кольцо могут составлять оставшиеся четыре или семь камней. Так как камни изумруды и аметисты разные, каждый из них может быть или не быть включенным в кольцо, что даёт нам 2^4 (для четырехкаменного кольца) и 2^7 (для семикаменного кольца) комбинаций соответственно. - Кольца с 4 опалами: Мы включаем все опалы и выбираем один из остальных камней - изумруд или аметист, что даёт нам 2 возможные комбинации. - Кольца с 7 опалами: В этом случае все камни в кольце - опалы, так что только одна возможность - кольцо из 7 опалов. Давайте вычислим это: С колец с 0 опалами: 2^4 + 2^7 С колец с 4 опалами: 2 С колец с 7 опалами: 1 Теперь сложим все варианты: (2^4 + 2^7) + 2 + 1 = 16 + 128 + 2 + 1 = 147 колец **Задача 2. Распределение апельсинов** Так как каждому ребёнку необходимо дать минимум по одному апельсину, начнем с выделения по одному для каждого из 5 детей. Это уменьшит общее количество апельсинов до 10 (15 - 5). Теперь нам нужно распределить оставшиеся 10 апельсинов на 5 детей без каких-либо ограничений. Эта задача является задачей о размещении с повторениями (также известной как задача о разделении неотличимых объектов), и она решается с помощью формулы количества сочетаний с повторениями: C(n + k - 1, k), где n - количество детей (получателей), а k - количество объектов для раздачи (апельсинов). Итак, для нашего случая n=5 и k=10, получаем: C(5 + 10 - 1, 10) = C(14, 10) Чтобы найти C(14, 10), используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) Подставляем наши значения: C(14, 10) = 14! / (10! * (14 - 10)!) = 14! / (10! * 4!) = (14 * 13 * 12 * 11) / (4 * 3 * 2 * 1) = (14 * 13 * 12 * 11) / (24) = 2002 Итак, можно распределить оставшиеся 10 апельсинов между 5 детьми 2002 способами.