Сколько видов расписания можно составить из 14 дисциплин если в день можно ставить 4 дисциплины

Условие:

Сколько видов расписания можно составить из 14 дисциплин если в день можно ставить 4 дисциплины

Решение:

Это задание относится к комбинаторике, разделу математики, который изучает количество способов выбора и упорядочивания объектов. Нам нужно определить, сколько различных расписаний можно составить из 14 дисциплин, если в каждом дне в расписание ставятся 4 дисциплины. Так как порядок дисциплин в расписании имеет значение (то есть дисциплины в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й позиции считаются различными комбинациями), это задача на подсчёт числа перестановок с вычитанием. Рассмотрим шаги решения: 1. **Выбор дисциплин:** Сначала нам нужно выбрать 4 дисциплины из 14. Это можно сделать с использованием комбинаторики. Количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) элементов без учёта порядка рассчитывается по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Где \( C(n, k) \) — число сочетаний. В данном случае \(n = 14\) и \(k = 4\): \[ C(14, 4) = \frac{14!}{4!(14-4)!} = \frac{14!}{4! \cdot 10!} \] Найдем значения факториалов: \[ 14! = 87,178,291,200 \] \[ 4! = 24 \] \[ 10! = 3,628,800 \] Теперь подставим эти значения в формулу: \[ C(14, 4) = \frac{87,178,291,200}{24 \cdot 3,628,800} = \frac{87,178,291,200}{87,091,200} = 1,652 \] Итак, существует 1,652 способа выбрать 4 дисциплины из 14, не учитывая порядок. 2. **Перестановка дисциплин**: Теперь для каждого набора из 4 выбранных дисциплин, их можно упорядочить (переставить) по-разному. Количество способов упорядочить 4 предмета из 4 рассчитывается как факториал числа элементов: \[ P(k) = k! \] Где \( P(k) \) — число перестановок. В данном случае \(k = 4\): \[ P(4) = 4! = 24 \] 3. **Общее количество расписаний**: Чтобы получить окончательный результат, нужно умножить количество способов выбрать 4 дисциплины из 14 на количество способов упорядочить эти 4 дисциплины: \[ \text{Общее количество расписаний} = C(14, 4) \cdot P(4) = 1,652 \cdot 24 = 39,648 \] Ответ: Существует 39,648 различных способов составить расписание из 4 дисциплин на день, выбирая из 14 дисциплин.