Сколькими способами можно выбрать троих студентов из восьми?

Предмет: Математика
Раздел: Комбинаторика (сочетания, размещения, перестановки)

Задание 1. Найти значение:

C_{13}^{10} + C_{13}^{11} + C_{61}^{3} - C_{60}^{2}

Решение:

Используем формулу сочетаний:
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

1. C_{13}^{10} = C_{13}^{3} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286
2. C_{13}^{11} = C_{13}^{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78
3. C_{61}^{3} = \frac{61 \cdot 60 \cdot 59}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{215940}{6} = 35990
4. C_{60}^{2} = \frac{60 \cdot 59}{2} = 1770

Теперь сложим и вычтем:
286 + 78 + 35990 - 1770 = 34584

Ответ: 34584

Задание 2. Сколькими способами можно выбрать троих студентов из восьми?

Раздел: Сочетания

C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56

Ответ: 56

Задание 3. Сколько различных аккордов из 5 звуков можно образовать из 12 клавиш?

Раздел: Сочетания

C_{12}^5 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{95040}{120} = 792

Ответ: 792

Задание 4. Сколько отрезков можно построить, соединяя попарно 15 точек?

Раздел: Сочетания по 2

C_{15}^2 = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105

Ответ: 105

Задание 5. Сколько треугольников можно построить из 9 точек на окружности?

Раздел: Сочетания по 3 (никакие 3 не лежат на одной прямой)

C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84

Ответ: 84

Задание 6. Найти значения:

• P_5 = 5! = 120
• P_8 = 8! = 40320
• A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{1} = 20
• A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Ответ:
P_5 = 120,
P_8 = 40320,
A_5^2 = 20,
A_{10}^3 = 720

Задание 7. Сколькими способами можно рассадить 5 членов экипажа на 5 стульях?

Раздел: Перестановки

P_5 = 5! = 120

Ответ: 120

Задание 8. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди 8 учащихся на 8 дней?

Раздел: Размещения без повторений

A_8^8 = 8! = 40320

Ответ: 40320

Задание 9. Сколькими способами можно составить расписание на четверг, если в этот день должны быть 3 пары из 6 разных дисциплин?

Раздел: Сочетания + размещения

1. Выбираем 3 дисциплины из 6:
   C_6^3 = 20
2. Расставляем их по 3 парам (перестановки):
   3! = 6
3. Общее число:
   20 \cdot 6 = 120

Ответ: 120

Задание 10. Сколько существует шестизначных номеров, в которых все цифры разные, а номер не начинается с нуля?

Раздел: Размещения с ограничением

1. Первая цифра: 9 вариантов (1–9)
2. Остальные 5 цифр — из оставшихся 9 цифр (включая 0):
   A_9^5 = \frac{9!}{(9-5)!} = 15120
3. Итого:
   9 \cdot 15120 = 136080

Ответ: 136080

Если нужно, могу оформить в виде таблицы или сгенерировать PDF.