Сколькими способами для участия в конференции из 8 членов научного общества можно выбрать троих студентов?

Предмет: Математика
Раздел: Комбинаторика (сочетания, размещения, перестановки)

Задание 1: Найти значение выражения

 C_{10}^{3} + C_{13}^{5} \cdot C_{6}^{1} - C_{6}^{0} 

Решим по частям, используя формулу сочетаний:  C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} 

1.  C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 

2.  C_{13}^{5} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1287 

3.  C_{6}^{1} = 6 

4.  C_{6}^{0} = 1 

Теперь подставим в исходное выражение:  120 + 1287 \cdot 6 - 1 = 120 + 7722 - 1 = 7841 

Ответ:  7841 

Задание 2: Сколькими способами для участия в конференции из 8 членов научного общества можно выбрать троих студентов?

Это задача на сочетания без повторений:  C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 

Ответ:  56 

Задание 3: Сколько различных аккордов, содержащих 5 звуков, можно образовать из 12 клавиш одной октавы?

Выбираем 5 клавиш из 12, порядок не важен:  C_{12}^{5} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792 

Ответ:  792 

Задание 4: На плоскости отмечено 15 точек, никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?

Каждая пара точек определяет отрезок:  C_{15}^{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105 

Ответ:  105 

Задание 5: На окружности отмечено 9 точек. Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

Выбираем любые 3 точки из 9:  C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84 

Ответ:  84 

Задание 6: Найти значение  P_5 \cdot P_4 \cdot A_5^2 \cdot A_4^1 

Обозначения:

•  P_n = n!  — перестановки из n элементов
•  A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}  — размещения из n по k

Вычислим:

•  P_5 = 5! = 120 
•  P_4 = 4! = 24 
•  A_5^2 = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4}{1} = 20 
•  A_4^1 = 4 

Теперь перемножим:  120 \cdot 24 \cdot 20 \cdot 4 = 57600 

Ответ:  57600 

Продолжим решение остальных пунктов в следующем сообщении.