Пять девушек и семь юношей играют в волейбол. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 6 человек

Условие:

Пять девушек и семь юношей играют в волейбол. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 6 человек в каждой команде, если в каждой команде должно быть хотя бы по три юноши. Подробное решение. Используй формулы комбинаторики

Решение:

Это задача по комбинаторике, раздел математики, изучающий количество способов, которыми можно выбрать, упорядочить или распределить элементы в некотором наборе. У нас есть: - 5 девушек, - 7 юношей, - нужно сформировать две команды по 6 человек в каждой так, чтобы в каждой команде было минимум 3 юноши. Для начала рассмотрим возможные варианты распределения юношей между двумя командами. Поскольку в каждой команде должно быть минимум 3 юноши, у нас есть три случая: 1. В одной команде 3 юноши, а в другой – оставшиеся 4. 2. В одной команде 4 юноши, а в другой – оставшиеся 3. 3. В обеих командах по 3 юноши и оставшиеся 1 юношу не учитываем, так как он в команду не входит. В первых двух случаях ситуация симметричная, то есть количество способов распределения юношей в первом случае будет таким же, как и во втором. Рассчитаем количество способов распределения юношей для случая, когда в одной команде 3 юноши, а в другой 4. Для этого используем формулу сочетаний без повторений, так как порядок юношей в команде не важен. Формула выглядит так: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n - общее количество элементов, k - количество элементов в выборке. Сначала выберем 3 юношей из 7: C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35 способов. Теперь рассмотрим количество способов распределения девушек. В команде должно быть 6 человек, и из них уже 3 или 4 юноши. Значит, в каждой команде может быть от 2 до 3 девушек. Поскольку все девушки нам нужны, сначала выберем 2 девушек для одной команды, а оставшиеся (по логике) пойдут в другую. Выберем 2 девушек из 5: C(5, 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10 способов. Теперь умножим количество способов выбрать юношей на количество способов выбрать девушек: Для случая с 3 юношами и 2 девушками в одной команде: 35 (юноши) * 10 (девушки) = 350 способов. Поскольку для случая с 4 юношами и 3 девушками в одной команде количество способов будет то же самое (так как ситуация симметричная), то удваиваем наш результат: 350 * 2 = 700 способов. В третьем случае, когда в обеих командах по 3 юноши, седьмой юноша в расчете не участвует, тогда каждой команде нужно всего 3 девушки. Так как все девушки должны быть распределены, это можно сделать только одним способом - 5 девушек формируют две группы по 3. Так что в этом случае у нас получается только 1 вариант распределения игроков по командам. На этапе выбора юношей у нас не возникает дополнительных вариантов, так как 3 юноши автоматически попадают в одну команду, а другие 3 - в другую. Итак, суммируем наши варианты: 700 (два первых случая) + 1 (третий случай) = 701 способ. Значит, девушки и юноши могут разбиться на две команды по 6 человек 701 способом так, чтобы в каждой команде было хотя бы по три юноши.