Определить сколькими способами можно разложить конфеты на 2 кучки - по 5 и 5 конфет, так чтобы в каждой кучке было 2 шоколадные конфеты

Условие:

Есть 10 конфет - 4 шоколадные, остальные- карамелька. Нужно разложить эти конфеты на 2 кучки - по 5 и 5 конфет, так чтобы в каждой кучке было 2 шоколадные конфеты. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:

Задание относится к предмету комбинаторика – разделу математики, который изучает способы комбинирования элементов из заданного множества. Теперь начнем решение: У нас есть 10 конфет: 4 шоколадные (Ш) и 6 карамельных (К). Нужно разделить их на две кучки по 5 конфет таким образом, чтобы в каждой кучке было ровно 2 шоколадные конфеты. 1. Рассмотрим первую кучку, в которой должно быть 2 шоколадные конфеты и 3 карамельные: - Из 4 шоколадных конфет выбираем 2 конфеты. Количество способов выбрать 2 шоколадные конфеты из 4 может быть рассчитано с помощью биномиального коэффициента "из \( n \) по \( k \)", который записывается как \( C(n, k) \). В нашем случае это: \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] - Из 6 карамельных конфет выбираем 3 конфеты. Количество способов выбрать 3 карамельные конфеты из 6: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] 2. Таким образом, количество различных способов выбрать 2 шоколадные и 3 карамельные конфеты для первой кучки составляет: \[ C(4, 2) \times C(6, 3) = 6 \times 20 = 120 \] 3. Оставшиеся конфеты автоматически попадают во вторую кучку, и в ней будет также 2 шоколадные (из оставшихся двух) и 3 карамельные (из оставшихся трёх). Таким образом, общее количество способов разделить 10 конфет на две кучки так, чтобы в каждой было по 2 шоколадные конфеты, составляет: \[ 6 \times 20 = 120 \] Итак, существует 120 способов разложить конфеты на 2 кучки по 5 конфет, чтобы в каждой кучке было ровно 2 шоколадные конфеты.