Определить последнюю цифру числа на 59 этапе

Данное задание относится к курсу математики, раздел "Числовые последовательности". Для того чтобы определить последнюю цифру числа на 59 этапе, проследим периодичность появления последней цифры на примере нескольких этапов.

Этап 1: Исходное число: 2

Этап 2:

• Последняя цифра: 2
• Умножаем на 7: $\text{(}2\times 7=14\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру произведения к числу:

  было: 2
  результат: 214
  

Этап 3:

• Последняя цифра: 4
• Умножаем на 7: $\text{(}4\times 7=28\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру произведения к числу:

  было: 214
  результат: 21428
  

Этап 4:

• Последняя цифра: 8
• Умножаем на 7: $\text{(}8\times 7=56\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру произведения к числу:

  было: 21428
  результат: 2142856
  

Этап 5:

• Последняя цифра: 6
• Умножаем на 7: $\text{(}6\times 7=42\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру произведения к числу:

  было: 2142856
  результат: 21428564
  

Можно заметить, что есть определённая закономерность, которая повторяется каждые 4 шага. Далее проверим еще несколько шагов, чтобы убедиться в этом.

Этап 6:

• Последняя цифра: 4
• Умножаем на 7: $\text{(}4\times 7=28\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру:

  было: 21428564
  результат: 2142856428
  

Этап 7:

• Последняя цифра: 8
• Умножаем на 7: $\text{(}8\times 7=56\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру:

  было: 2142856428
  результат: 214285642856
  

Этап 8:

• Последняя цифра: 6
• Умножаем на 7: $\text{(}6\times 7=42\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру:

  было: 214285642856
  результат: 2142856428564
  

Этап 9:

• Последняя цифра: 4
• Умножаем на 7: $\text{(}4\times 7=28\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру:

  было: 2142856428564
  результат: 214285642856428
  

Этап 10:

• Последняя цифра: 8
• Умножаем на 7: $\text{(}8\times 7=56\text{)}$
• Добавляем последнюю цифру:

  было: 214285642856428
  результат: 21428564285642856
  

Закономерность повторяется каждые 4 этапа: 2 → 4 → 8 → 6 Теперь найдем, какое число будет на 59 этапе:
59 делим на 4 и рассматриваем остаток при делении на 4: $\text{[}59\mathrm{mod}4=3\text{]}$
Так как остаток равен 3, то по циклу соответствующая цифра будет 8 (третий шаг в последовательности 2 → 4 → 8 → 6).
Итак, последняя цифра числа на 59 этапе будет 8.