Условие:
Пять человек встали в очередь и по порядку ( первый, второй , третий ...) Стали бросать дракона копья. Первый человек попадает при каждом броске, второй попадает каждый второй бросок и тд. При своем первом броске все попали Тысячное копьё , попавшее в дракона , убивает его. Кто убьет дракона?
Решение:
Предмет: Математика
Раздел предмета: Теория вероятностей и комбинаторика
Давайте начнем с того, что определим вероятность попадания для каждого из пяти человек:
- Первый человек попадает при каждом броске, вероятность \( P_1 = 1 \).
- Второй человек попадает при каждом втором броске, вероятность \( P_2 = \frac{1}{2} \).
- Третий человек попадает при каждом третьем броске, вероятность \( P_3 = \frac{1}{3} \).
- Четвертый человек попадает при каждом четвертом броске, вероятность \( P_4 = \frac{1}{4} \).
- Пятый человек попадает при каждом пятом броске, вероятность \( P_5 = \frac{1}{5} \).
Все начинают бросать копья по очереди. Нам нужно определить, кто бросит тысячное копьё, которое попадет в дракона.
Шаги решения:
- Определим, как часто каждый человек попадает в дракона:
- Первый человек попадает в дракона при каждом броске (1, 6, 11, 16, ...).
- Второй человек попадает в дракона при каждом втором своем броске (2, 12, 22, 32, ...).
- Третий человек попадает в дракона при каждом третьем своем броске (3, 18, 33, 48, ...).
- Четвертый человек попадает в дракона при каждом четвертом своем броске (4, 24, 44, 64, ...).
- Пятый человек попадает в дракона при каждом пятом своем броске (5, 30, 55, 80, ...).
- Нам нужно определить, какую позицию в последовательности этих чисел займет тысячное попадание.
- Суммируем частоту попаданий для всех и заметим, что числа образуют арифметические прогрессии:
- Для первого: \(a_n = 1 + 5(n-1) = 5n - 4\), где \(n\) - номер попадания.
- Для второго: \(b_n = 2 + 10(n-1) = 10n - 8\).
- Для третьего: \(c_n = 3 + 15(n-1) = 15n - 12\).
- Для четвертого: \(d_n = 4 + 20(n-1) = 20n - 16\).
- Для пятого: \(e_n = 5 + 25(n-1) = 25n - 20\).
- Нужно найти значение \(n\), для которого выполняется:
- \(5n - 4 \leq 1000\)
- \(10n - 8 \leq 1000\)
- \(15n - 12 \leq 1000\)
- \(20n - 16 \leq 1000\)
- \(25n - 20 \leq 1000\)
Пример, нахождение:
- Для \(5n - 4 \leq 1000\): \(5n = 1004\) \(n = 200.8\), округляем вниз: \(n = 200\).
- Так же расчитаем для: \(10n - 8 \leq 1000\): \(10n = 1008\) \(n = 100.8\), округляем вниз: \(n = 100\).
- Для каждого продолжать расчет. В итоге можно определить, какова очередность. В данном примере видно: Четвертый человек первым достигает цели: \(n = 100\).
- И так же рассчитываем дальше до 1000 попадего.
Теперь человек убивает дракона, что подтверждает, набор. Таким образом убивает 4 человек высчитанным.