Найти вероятность того, что набраны именно нужные цифры

Предмет: Теория вероятностей

Раздел: Классическая вероятность

Задание:

Абонент забыл последние три цифры телефонного номера, но помнит, что все три цифры различны. Он набрал наугад три цифры. Необходимо найти вероятность того, что набраны именно нужные цифры.

Решение:

1. Проанализируем задачу:
   • Нам дано количество последних цифр номера — 3.
   • Эти цифры числовые и из условия сказано, что они различные.
   • Абонент набирает их наугад, и нам нужно найти вероятность того, что он правильно набрал нужные три цифры в правильном порядке.
2. Общее возможное количество вариантов:
   • Каждая цифра телефона может быть одной из 10 цифр (от 0 до 9).
   • Так как цифры должны быть различны, то количество способов выбрать и упорядочить три различные цифры из десяти без повторений можно найти по формуле числа размещений (перестановка без повторений): \[ A_3^{10} = 10 \times 9 \times 8 = 720 \]
   • Это общее количество возможных вариантов набора последних трёх цифр, если они все различны (всего 720 возможных наборов).
3. Благоприятное количество исходов:
   • Так как нужная последовательность одна, то благоприятных исходов ровно 1 (он должен набрать одну конкретную комбинацию цифр).
4. Формула для нахождения вероятности:

   Теперь рассчитаем вероятность по классической формуле вероятности:

   \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} \]

   Подставляем значения:

   \[ P = \frac{1}{720}. \]

5. Ответ:

   Вероятность того, что абонент правильно набрал нужные три цифры, равна \( \frac{1}{720} \).

Вывод:

Вероятность того, что абонент случайным образом набрал правильные три последние цифры — это \( \frac{1}{720} \).