Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Классическая вероятность, комбинаторика

Задача:
Из условия задачи 3 (Вариант 1):

На турнир по шахматам прибыло 26 участников, в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьёвки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.

Решение:

Всего участников: 26
Каждого случайным образом распределяют в одну из двух равных групп: по 13 человек в каждой.

Нас интересует вероятность того, что Коля и Толя окажутся в разных группах.

Шаг 1: Общее количество способов распределения участников

Поскольку группы не различаются по названиям, но мы фиксируем, кто попадает в какую группу, то можно рассматривать только выбор первой группы (вторая автоматически определяется).

Число способов выбрать 13 человек из 26:  C_{26}^{13} 

Шаг 2: Число благоприятных исходов

Зафиксируем Колю. Он может попасть в любую из групп. Предположим, что Коля попал в первую группу.
Чтобы Толя оказался в другой группе (а именно — во второй), нужно, чтобы его не было среди оставшихся 12 человек первой группы (так как Коля уже в первой группе).

Оставшихся участников: 25 (все, кроме Коли). Из них нужно выбрать 12 человек в первую группу (вместе с Колей получится 13).
Число способов выбрать 12 человек из 25, не включая Толю:  C_{24}^{12} 

(так как из 25 исключаем Толю, остаётся 24 человека)

Шаг 3: Вероятность

Общее число способов выбрать 12 человек к Коле из оставшихся 25:  C_{25}^{12} 

Тогда вероятность того, что Толя окажется в другой группе:  P = \frac{C_{24}^{12}}{C_{25}^{12}} 

Шаг 4: Упрощение

Воспользуемся свойством комбинаторики:  \frac{C_{24}^{12}}{C_{25}^{12}} = \frac{24! / (12! \cdot 12!)}{25! / (12! \cdot 13!)} = \frac{24! \cdot 13!}{25! \cdot 12!} = \frac{13}{25} 

Ответ:

 P = \frac{13}{25} 

Вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы, равна \frac{13}{25}.