Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти натуральное число Х для которого выполняется равенство
Предмет: Математика
Раздел: Комбинаторика (Сочетания и размещения)
Нам дано следующее:
[A_x^2 = 72]
[A_{x+1}^2 = 90]
[A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = 96]
Здесь [A_n^k] — это число размещений из [n] по [k], то есть:
[A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}]
[A_x^2 = \frac{x!}{(x - 2)!} = x \cdot (x - 1) = 72]
Решим уравнение:
x(x - 1) = 72
Подберем натуральное [x]:
x = 9 \Rightarrow 9 \cdot 8 = 72
Значит, [x = 9]
A_{x+1}^2 = A_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90
Совпадает ✅
A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = A_{10}^3 - A_{8}^3
Посчитаем:
A_{10}^3 = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720
A_8^3 = \frac{8!}{(8 - 3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336
Теперь разность:
720 - 336 = 384
Но по условию должно быть:
[A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = 96]
❌ Не совпадает.
Попробуем [x = 6]
6 \cdot 5 = 30 ❌
Попробуем [x = 8]
8 \cdot 7 = 56 ❌
Попробуем [x = 12]
12 \cdot 11 = 132 ❌
Попробуем [x = 6]
x = 6 \Rightarrow x(x - 1) = 6 \cdot 5 = 30 ❌
Попробуем [x = 10]
x(x - 1) = 10 \cdot 9 = 90 ❌
Мы уже нашли, что:
[x = 9] — единственное значение, при котором [A_x^2 = 72] и [A_{x+1}^2 = 90].
Но тогда [A_{10}^3 - A_8^3 = 720 - 336 = 384]
А должно быть [96]
Пробуем решить систему уравнений аналитически:
Из второго:
x^2 + x = 90 \Rightarrow x^2 + x - 90 = 0
Решим квадратное уравнение:
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 90}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2}
x = 9 \text{ или } x = -10
Берем [x = 9]
То есть других решений нет — только [x = 9]
Ответ:
[x = 9]
✅ Условие задачи составлено с ошибкой: третье равенство не выполняется при найденном [x]. Но если ориентироваться только на первые два уравнения, то:
[x = 9]