Найти натуральное число Х для которого выполняется равенство

Предмет: Математика
Раздел: Комбинаторика (Сочетания и размещения)

Нам дано следующее:

[A_x^2 = 72]
[A_{x+1}^2 = 90]
[A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = 96]

Здесь [A_n^k] — это число размещений из [n] по [k], то есть:

 [A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}] 

Шаг 1: Используем первое равенство

 [A_x^2 = \frac{x!}{(x - 2)!} = x \cdot (x - 1) = 72] 

Решим уравнение:

 x(x - 1) = 72 

Подберем натуральное [x]:

 x = 9 \Rightarrow 9 \cdot 8 = 72 

Значит, [x = 9]

Шаг 2: Проверим второе равенство

 A_{x+1}^2 = A_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90 

Совпадает ✅

Шаг 3: Проверим третье равенство

 A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = A_{10}^3 - A_{8}^3 

Посчитаем:

 A_{10}^3 = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 

 A_8^3 = \frac{8!}{(8 - 3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 

Теперь разность:

 720 - 336 = 384 

Но по условию должно быть:

[A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = 96]

❌ Не совпадает.

Подберем другой [x]

Попробуем [x = 6]

Проверим [A_6^2]:

 6 \cdot 5 = 30 ❌ 

Попробуем [x = 8]

 8 \cdot 7 = 56 ❌ 

Попробуем [x = 12]

 12 \cdot 11 = 132 ❌ 

Попробуем [x = 6]

 x = 6 \Rightarrow x(x - 1) = 6 \cdot 5 = 30 ❌ 

Попробуем [x = 10]

 x(x - 1) = 10 \cdot 9 = 90 ❌ 

Мы уже нашли, что:

[x = 9] — единственное значение, при котором [A_x^2 = 72] и [A_{x+1}^2 = 90].

Но тогда [A_{10}^3 - A_8^3 = 720 - 336 = 384]

А должно быть [96]

Пробуем решить систему уравнений аналитически:

1. [x(x - 1) = 72]
2. [(x + 1)x = 90]

Из второго:

 x^2 + x = 90 \Rightarrow x^2 + x - 90 = 0 

Решим квадратное уравнение:

 x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 90}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 \pm 19}{2} 

 x = 9 \text{ или } x = -10 

Берем [x = 9]

То есть других решений нет — только [x = 9]

Ответ:

[x = 9]

✅ Условие задачи составлено с ошибкой: третье равенство не выполняется при найденном [x]. Но если ориентироваться только на первые два уравнения, то:

Ответ:

[x = 9]