Условие:
Ученику необходимо сдать четыре экзамена на протяжении восьми дней сколькими способами может быть составлен расписание его экзаменов если в один день может сдавать только один экзамен
Решение:
Это задание относится к разделу комбинаторики теории вероятностей и математической статистики.
Мы будем решать задачу о количестве возможных расписаний именно для сдачи четырёх экзаменов на протяжении восьми дней, при этом ученик может сдавать только один экзамен в день.
- Сначала определим, сколько способов можно выбрать 4 дня из 8 для сдачи экзаменов. Это задача на определение сочетаний, так как порядок выбранных дней не важен. Формула для числа сочетаний выглядит следующим образом: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Где \(\ n = 8 \) (всего дней) и \(\ k = 4 \) (дней, когда сдаём экзамены): \[\ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} \] Рассчитаем факториалы: \[\ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \] \[\ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Поэтому: \[\ C(8, 4) = \frac{40320}{24 \times 24} = \frac{40320}{576} = 70 \]
- Теперь, необходимо разместить 4 экзамена в выбранных 4 днях. Это задача на размещение (перестановки), что определяется факториалом количества экзаменов: \[\ P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Теперь, умножим количество способов выбрать 4 дня на количество способов разместить экзамены в этих 4 днях: \[\ C(8, 4) \times P(4) = 70 \times 24 \] Проведём окончательные вычисления: \[\ 70 \times 24 = 1680 \] Итак, количество способов, которыми ученик может составить расписание сдачи четырёх экзаменов на протяжении восьми дней, составляет 1680. Ответ: 1680 способов.