Найти количестве возможных расписаний именно для сдачи четырёх экзаменов на протяжении восьми дней

Это задание относится к разделу комбинаторики теории вероятностей и математической статистики.

Мы будем решать задачу о количестве возможных расписаний именно для сдачи четырёх экзаменов на протяжении восьми дней, при этом ученик может сдавать только один экзамен в день.

1. Сначала определим, сколько способов можно выбрать 4 дня из 8 для сдачи экзаменов. Это задача на определение сочетаний, так как порядок выбранных дней не важен. Формула для числа сочетаний выглядит следующим образом: $\text{[}C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\text{]}$ Где $\text{(}n=8\text{)}$ (всего дней) и $\text{(}k=4\text{)}$ (дней, когда сдаём экзамены): $\text{[}C(8,4)=\frac{8!}{4!(8-4)!}=\frac{8!}{4!4!}\text{]}$ Рассчитаем факториалы: $\text{[}8!=8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=40320\text{]}$ $\text{[}4!=4\times 3\times 2\times 1=24\text{]}$ Поэтому: $\text{[}C(8,4)=\frac{40320}{24\times 24}=\frac{40320}{576}=70\text{]}$
2. Теперь, необходимо разместить 4 экзамена в выбранных 4 днях. Это задача на размещение (перестановки), что определяется факториалом количества экзаменов: $\text{[}P(4)=4!=4\times 3\times 2\times 1=24\text{]}$ Теперь, умножим количество способов выбрать 4 дня на количество способов разместить экзамены в этих 4 днях: $\text{[}C(8,4)\times P(4)=70\times 24\text{]}$ Проведём окончательные вычисления: $\text{[}70\times 24=1680\text{]}$ Итак, количество способов, которыми ученик может составить расписание сдачи четырёх экзаменов на протяжении восьми дней, составляет 1680. Ответ: 1680 способов.