Какова вероятность того, что в число дежурных войдут: а) 5 юношей б) 2 юноши и 3 девушки

Предмет: Теория вероятностей
Раздел: Комбинаторика и вычисление вероятностей

Для решения задачи будем использовать формулу классической вероятности:

P = \frac{m}{n},

где:

• m — число благоприятных исходов;
• n — общее число возможных исходов.

Общее количество людей в группе: 10 + 10 = 20.
Для выбора 5 человек из 20 возможных общее число комбинаций можно найти с помощью формулы числа сочетаний:

C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!},

где n — общее количество элементов, k — количество выбираемых элементов.

Общее число способов выбрать 5 человек из 20:
C_5^{20} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504.

Теперь рассмотрим каждый пункт:

а) Вероятность, что все 5 дежурных — юноши

Число юношей в группе — 10. Мы выбираем всех 5 человек из этих 10. Число способов выбрать 5 человек из 10:

C_5^{10} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252.

Вероятность, что все 5 дежурных — юноши:

P = \frac{C_5^{10}}{C_5^{20}} = \frac{252}{15504} = \frac{1}{61} \approx 0.0164 \, (1.64\%).

б) Вероятность, что среди дежурных 2 юноши и 3 девушки

Число способов выбрать 2 юношей из 10:

C_2^{10} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45.

Число способов выбрать 3 девушек из 10:

C_3^{10} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.

Общее число способов выбрать 2 юношей и 3 девушек:

C_2^{10} \cdot C_3^{10} = 45 \cdot 120 = 5400.

Вероятность, что среди дежурных 2 юноши и 3 девушки:

P = \frac{C_2^{10} \cdot C_3^{10}}{C_5^{20}} = \frac{5400}{15504} = \frac{450}{1292} \approx 0.3482 \, (34.82\%).

Ответ:

а) Вероятность, что все 5 дежурных — юноши: \frac{1}{61} \approx 0.0164 \, (1.64\%).
б) Вероятность, что среди дежурных 2 юноши и 3 девушки: \frac{450}{1292} \approx 0.3482 \, (34.82\%).