Как королю обойти доску 40 на 40, поменяв направление своего движения не более 77 раз

Условие:

Шахматному королю нужно обойти доску 40 на 40 (нужно побывать на каждой клетке, при этом на одной клетке можно побывать несколько раз). Как ему это сделать, поменяв направление своего движения не более 77 раз? Король может начинать обход с любой клетки.

Решение:

Это задание относится к предмету "Математика", а конкретнее к разделу "Комбинаторика" и "Графы". Мы рассматриваем шахматную доску размером 40 на 40 клеток. Король может двигаться на одну клетку в любом направлении (вверх, вниз, влево, вправо, по диагонали). Цель – обойти все клетки доски, меняя направление движения не более 77 раз. **План решения:** 1. **Понять ограничения:** - Король может менять направление только 77 раз. - Нужно посетить все 1600 (40x40) клеток. 2. **Оптимизация количества смен направлений:** - Если двигаться по прямой, направление не меняется. - Попробуем минимизировать количество смен направления. 3. **Оптимальная стратегия:** - Король может начинать с любой клетки. - Рассмотрим стратегию зигзагообразного движения: этот способ требует изменения направления только в конце каждой строки или столбца. - Король будет двигаться, например, горизонтально слева направо по первому ряду, затем вниз на следующий ряд, движется справа налево и так далее. Это будет требовать как раз одного изменения направления на каждый ряд. 4. **Оценка количества изменений направления:** - При зигзагообразном движении по всем 40 рядам (влево-вправо, справа-налево), изменение направления нужно каждый раз при переходе между рядами. - Для 40 рядов изменения происходят 39 раз (движение между каждым парным рядом). 5. **Алгоритм действий:** - Начнем с верхнего левого угла (можно с любой другой клетки, но это не минимизирует количество смен направлений). - Движение будет по рядам горизонтально. В конце каждого ряда будет смена на вертикальное движение вниз к следующему ряду. - Так как всего 40 рядов, это требует 39 изменений направления. **Решение:** Король может начать с верхнего левого угла (или любой другой клетки) и двигаться следующим образом: 1. Движемся горизонтально от (1, 1) до (1, 40) (1 изменение направления в конце) 2. Смещаемся вниз к началу следующего ряда (2, 40), движемся от (2, 40) до (2, 1). 3. Повторяем этот процесс для всех 40 рядов. Таким образом, общее количество смен направлений составит всего 39, что значительно меньше допустимых 77, и король обойдет все клетки шахматной доски. Таким образом: \[ \boxed{\text{Король можно обойти доску 40x40, изменяя направление всего 39 раз, используя зигзагообразное движение.}} \]