Вычислить предел

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Пределы, Показательные пределы

Нам нужно вычислить следующий предел:

 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 3}{x - 1} \right)^{\frac{x}{3} + 1} 

Шаг 1: Анализ формы предела

При x \to \infty выражение под степенью стремится к бесконечности, а основание стремится к 1:

 \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x(1 + \frac{3}{x})}{x(1 - \frac{1}{x})} = \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \to \frac{1}{1} = 1 

Таким образом, у нас предел вида 1^{\infty}, что является неопределённостью.

Шаг 2: Переход к экспоненте

Используем стандартный приём:
 a^b = e^{b \ln a} 

Тогда:

 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 3}{x - 1} \right)^{\frac{x}{3} + 1} = \lim_{x \to \infty} \exp\left[\left(\frac{x}{3} + 1\right) \cdot \ln\left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)\right] 

Шаг 3: Аппроксимация логарифма

Рассмотрим логарифм:

 \ln\left(\frac{x + 3}{x - 1}\right) = \ln\left(1 + \frac{4}{x - 1}\right) 

При x \to \infty можно использовать разложение:

 \ln(1 + \varepsilon) \approx \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \dots 

где \varepsilon = \frac{4}{x - 1}, тогда:

 \ln\left(\frac{x + 3}{x - 1}\right) \approx \frac{4}{x} 

(приблизительно, т.к. x - 1 \approx x при больших x)

Шаг 4: Подставим в экспоненту

 \left(\frac{x}{3} + 1\right) \cdot \ln\left(\frac{x + 3}{x - 1}\right) \approx \left(\frac{x}{3} + 1\right) \cdot \frac{4}{x} 

 = \left( \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{3} \right) + \left( \frac{4}{x} \cdot 1 \right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{x} \to \frac{4}{3} 

Шаг 5: Ответ

 \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 3}{x - 1} \right)^{\frac{x}{3} + 1} = \exp\left( \frac{4}{3} \right) 

Ответ:

 \boxed{e^{\frac{4}{3}}}