Найти предел последовательности

Это задание по математическому анализу, раздел "Исследование пределов". Нужно найти предел последовательности при \( n \to \infty \).

Давайте решим его:

Предел имеет вид:

\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{n^2 + 1} - n}{\sqrt{n^3 + 1} - n\sqrt{n}} \right) \]

Раскроем числитель и знаменатель:

1. Числитель: \( \sqrt{n^2 + 1} - n \). Чтобы развязать неопределённость, домножим и поделим на сопряжённое выражение: \( \left(\sqrt{n^2 + 1} + n\right) \). Тогда числитель превращается в: \((\sqrt{n^2 + 1} - n)(\sqrt{n^2 + 1} + n) = n^2 + 1 - n^2 = 1\).
2. Знаменатель: \( \sqrt{n^3 + 1} - n\sqrt{n} \). Аналогично, умножим и разделим на сопряжённое выражение: \( \left(\sqrt{n^3 + 1} + n\sqrt{n}\right) \). Преобразование знаменателя даст: \((\sqrt{n^3 + 1} - n\sqrt{n})(\sqrt{n^3 + 1} + n\sqrt{n}) = n^3 + 1 - n^3 = 1\).

Теперь выражение выглядит проще:

\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^3 + 1} + n\sqrt{n}} \right) \]

В знаменателе при больших \( n \), \( \sqrt{n^3 + 1} + n\sqrt{n} \approx 2n^{3/2} \).

Теперь предел:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n^{3/2}} = 0 \]