Требуется исследовать функцию

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций, нахождение экстремумов

Рассмотрим задание 3.28. Требуется исследовать функцию:

$y=\frac{2x^2+2+4x}{2-x}$

Шаг 1. Найдем область определения функции.

Функция определена, если знаменатель не равен нулю.
Итак, $2-x\ne 0$, значит, $x\ne 2$.
Область определения функции: $x\in \mathbb{R},x\ne 2$.

Шаг 2. Упростим выражение для функции.

Разделим числитель на знаменатель:

$y=\frac{2x^2+4x+2}{2-x}$.

Выполним деление "уголком". Представим числитель как $(2x^2-2x)+(6x+2)$:

$y=-2x-6+\frac{-10}{2-x}$.

Итак, функция принимает вид:

$y=-2x-6-\frac{10}{x-2}$.

Шаг 3. Найдем производную функции.

Производная функции:

$y=-2x-6-\frac{10}{x-2}$.

Воспользуемся правилом дифференцирования суммы и производной дроби.
Производная:

$y^{\prime }=-2+\frac{10}{(x-2{)}^2}$.

Шаг 4. Найдем критические точки.

Критические точки определяются из условия $y^{\prime }=0$:

$-2+\frac{10}{(x-2{)}^2}=0$.

Переносим $-2$ вправо:

$\frac{10}{(x-2{)}^2}=2$.

Умножим на $(x-2{)}^2$:

$10=2(x-2{)}^2$.

Разделим на 2:

$(x-2{)}^2=5$.

Найдем корни:

$x-2=\pm \sqrt{5}$.

Итак, критические точки:

$x=2+\sqrt{5}$ и $x=2-\sqrt{5}$.

Шаг 5. Исследуем производную на знаки.

Рассмотрим интервалы:

1. $x\in (-\mathrm{\infty };2-\sqrt{5})$,
2. $x\in (2-\sqrt{5};2)$,
3. $x\in (2;2+\sqrt{5})$,
4. $x\in (2+\sqrt{5};+\mathrm{\infty })$.

Подставляя значения из каждого интервала в производную $y^{\prime }=-2+\frac{10}{(x-2{)}^2}$, определяем знак производной:

• На интервале $(-\mathrm{\infty };2-\sqrt{5})$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает).
• На интервале $(2-\sqrt{5};2)$: $y^{\prime }<0$ (функция убывает).
• На интервале $(2;2+\sqrt{5})$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает).
• На интервале $(2+\sqrt{5};+\mathrm{\infty })$: $y^{\prime }<0$ (функция убывает).

Шаг 6. Найдем значения функции в критических точках.

Подставим $x=2\pm \sqrt{5}$ в функцию:

1. Для $x=2+\sqrt{5}$:

$y=-2(2+\sqrt{5})-6-\frac{10}{\sqrt{5}}$.

2. Для $x=2-\sqrt{5}$:

$y=-2(2-\sqrt{5})-6-\frac{10}{-\sqrt{5}}$.

Шаг 7. Итог.

• Точки экстремумов: $x=2+\sqrt{5}$ и $x=2-\sqrt{5}$.
• Знаки производной показывают, что в одной точке максимум, в другой минимум.