Требуется исследовать функцию

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций, нахождение экстремумов

Рассмотрим задание 3.28. Требуется исследовать функцию:

y = \frac{2x^2 + 2 + 4x}{2 - x}

Шаг 1. Найдем область определения функции.

Функция определена, если знаменатель не равен нулю.
Итак, 2 - x \neq 0, значит, x \neq 2.
Область определения функции: x \in \mathbb{R}, x \neq 2.

Шаг 2. Упростим выражение для функции.

Разделим числитель на знаменатель:

y = \frac{2x^2 + 4x + 2}{2 - x}.

Выполним деление "уголком". Представим числитель как (2x^2 - 2x) + (6x + 2):

y = -2x - 6 + \frac{-10}{2 - x}.

Итак, функция принимает вид:

y = -2x - 6 - \frac{10}{x - 2}.

Шаг 3. Найдем производную функции.

Производная функции:

y = -2x - 6 - \frac{10}{x - 2}.

Воспользуемся правилом дифференцирования суммы и производной дроби.
Производная:

y' = -2 + \frac{10}{(x - 2)^2}.

Шаг 4. Найдем критические точки.

Критические точки определяются из условия y' = 0:

-2 + \frac{10}{(x - 2)^2} = 0.

Переносим -2 вправо:

\frac{10}{(x - 2)^2} = 2.

Умножим на (x - 2)^2:

10 = 2(x - 2)^2.

Разделим на 2:

(x - 2)^2 = 5.

Найдем корни:

x - 2 = \pm \sqrt{5}.

Итак, критические точки:

x = 2 + \sqrt{5} и x = 2 - \sqrt{5}.

Шаг 5. Исследуем производную на знаки.

Рассмотрим интервалы:

1. x \in (-\infty; 2 - \sqrt{5}),
2. x \in (2 - \sqrt{5}; 2),
3. x \in (2; 2 + \sqrt{5}),
4. x \in (2 + \sqrt{5}; +\infty).

Подставляя значения из каждого интервала в производную y' = -2 + \frac{10}{(x - 2)^2}, определяем знак производной:

• На интервале (-\infty; 2 - \sqrt{5}): y' > 0 (функция возрастает).
• На интервале (2 - \sqrt{5}; 2): y' < 0 (функция убывает).
• На интервале (2; 2 + \sqrt{5}): y' > 0 (функция возрастает).
• На интервале (2 + \sqrt{5}; +\infty): y' < 0 (функция убывает).

Шаг 6. Найдем значения функции в критических точках.

Подставим x = 2 \pm \sqrt{5} в функцию:

1. Для x = 2 + \sqrt{5}:

y = -2(2 + \sqrt{5}) - 6 - \frac{10}{\sqrt{5}}.

2. Для x = 2 - \sqrt{5}:

y = -2(2 - \sqrt{5}) - 6 - \frac{10}{-\sqrt{5}}.

Шаг 7. Итог.

• Точки экстремумов: x = 2 + \sqrt{5} и x = 2 - \sqrt{5}.
• Знаки производной показывают, что в одной точке максимум, в другой минимум.