Провести полное исследование заданой функции и построить её график

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций (Анализ функций)

Дана функция:
U = -\frac{x^3}{3} + \frac{5}{4}x^2 + 6x - 14

Шаг 1. Область определения функции

Функция является многочленом, значит область определения:
D(U) = \mathbb{R} (все действительные числа).

Шаг 2. Найдем производную функции

Для исследования функции найдем первую производную:
 U' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^3}{3} + \frac{5}{4}x^2 + 6x - 14\right) = -x^2 + \frac{5}{2}x + 6 

Шаг 3. Найдем критические точки (точки экстремума)

Решим уравнение U' = 0:
 -x^2 + \frac{5}{2}x + 6 = 0 
Умножим на -1 для удобства:
 x^2 - \frac{5}{2}x - 6 = 0 

Используем дискриминант:
 D = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = \frac{25}{4} + 24 = \frac{25}{4} + \frac{96}{4} = \frac{121}{4} = 30.25 

Корни:
 x = \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{30.25}}{2} = \frac{\frac{5}{2} \pm 5.5}{2} 

Вычислим:
 x_1 = \frac{\frac{5}{2} + 5.5}{2} = \frac{2.5 + 5.5}{2} = \frac{8}{2} = 4 
 x_2 = \frac{\frac{5}{2} - 5.5}{2} = \frac{2.5 - 5.5}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5 

Шаг 4. Найдем значения функции в критических точках

 U(4) = -\frac{4^3}{3} + \frac{5}{4} \cdot 4^2 + 6 \cdot 4 - 14 = -\frac{64}{3} + \frac{5}{4} \cdot 16 + 24 - 14 
 = -\frac{64}{3} + 20 + 10 = -\frac{64}{3} + 30 = 30 - \frac{64}{3} = \frac{90}{3} - \frac{64}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67 

 U(-1.5) = -\frac{(-1.5)^3}{3} + \frac{5}{4} \cdot (-1.5)^2 + 6 \cdot (-1.5) - 14 
Вычислим по шагам:
 (-1.5)^3 = -3.375 
 -\frac{-3.375}{3} = +1.125 
 \frac{5}{4} \cdot (-1.5)^2 = \frac{5}{4} \cdot 2.25 = \frac{5}{4} \cdot 2.25 = 2.8125 
 6 \cdot (-1.5) = -9 
Теперь подставим:
 U(-1.5) = 1.125 + 2.8125 - 9 - 14 = (1.125 + 2.8125) - 23 = 3.9375 - 23 = -19.0625 

Шаг 5. Определим характер критических точек (вторая производная)

Найдем вторую производную:
 U'' = \frac{d}{dx}U' = \frac{d}{dx} \left(-x^2 + \frac{5}{2}x + 6\right) = -2x + \frac{5}{2} 

Подставим найденные критические точки:
 U''(4) = -2 \cdot 4 + \frac{5}{2} = -8 + 2.5 = -5.5 < 0 \Rightarrow \text{максимум} 
 U''(-1.5) = -2 \cdot (-1.5) + \frac{5}{2} = 3 + 2.5 = 5.5 > 0 \Rightarrow \text{минимум} 

Шаг 6. Исследование функции на возрастание и убывание

Функция возрастает там, где U' > 0, убывает там, где U' < 0.

Промежутки:

• Между корнями производной x \in (-1.5, 4) производная положительна (функция возрастает).
• Для x < -1.5 и x > 4 производная отрицательна (функция убывает).

Шаг 7. Найдем точки перегиба

Точки перегиба — где вторая производная меняет знак, то есть решим U'' = 0:

 -2x + \frac{5}{2} = 0 \Rightarrow 2x = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \frac{5}{4} = 1.25 

Вычислим значение функции в точке перегиба:
 U(1.25) = -\frac{(1.25)^3}{3} + \frac{5}{4} (1.25)^2 + 6 \cdot 1.25 - 14 
Вычислим по шагам:
 (1.25)^3 = 1.953125 
 -\frac{1.953125}{3} = -0.6510417 
 \frac{5}{4} \cdot (1.25)^2 = \frac{5}{4} \cdot 1.5625 = 1.953125 
 6 \cdot 1.25 = 7.5 
Теперь:
 U(1.25) = -0.6510417 + 1.953125 + 7.5 - 14 = (1.953125 - 0.6510417 + 7.5) - 14 = 8.8020833 - 14 = -5.1979167 

Итог:

• Область определения: \mathbb{R}
• Критические точки: x = -1.5 (минимум), x = 4 (максимум)
• Значения функции в критических точках:
  U(-1.5) \approx -19.06, U(4) \approx 8.67
• Точка перегиба: x = 1.25, U(1.25) \approx -5.20
• Функция убывает на (-\infty, -1.5), возрастает на (-1.5, 4), убывает на (4, +\infty).

Шаг 8. Построение графика

График функции — кубическая кривая с максимумом в точке (4, 8.67), минимумом в точке (-1.5, -19.06) и точкой перегиба в (1.25, -5.20).

Если нужна помощь с построением графика на компьютере (например, с помощью Python), могу помочь с кодом.