Провести полное исследование функций и построить их график

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций и построение их графиков

Функция 1: ( y = -2x^3 + 9x^2 - 12x + 3 )

1. Область определения

Функция является многочленом, следовательно, определена на всей числовой прямой:
D(y) = (-\infty; +\infty)

2. Нули функции

Решим уравнение:
-2x^3 + 9x^2 - 12x + 3 = 0
Для нахождения корней можно воспользоваться теоремой Виета или численными методами.

3. Производная и критические точки

Найдем первую производную:
y' = (-2x^3 + 9x^2 - 12x + 3)' = -6x^2 + 18x - 12
Приравняем к нулю:
-6x^2 + 18x - 12 = 0
Разделим на -6:
x^2 - 3x + 2 = 0
Решаем квадратное уравнение:
x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}
x_1 = 2, \quad x_2 = 1
Это критические точки.

4. Исследование на экстремумы

Исследуем знаки производной:

• При ( x < 1 ), ( y' > 0 ) (функция возрастает).
• При ( 1 < x < 2 ), ( y' < 0 ) (функция убывает).
• При ( x > 2 ), ( y' > 0 ) (функция снова возрастает).

Следовательно:

• В точке ( x = 1 ) — максимум.
• В точке ( x = 2 ) — минимум.

5. Выпуклость и точки перегиба

Вычислим вторую производную:
y'' = (-6x^2 + 18x - 12)' = -12x + 18
Приравняем к нулю:
-12x + 18 = 0
x = \frac{18}{12} = 1.5
Это точка перегиба.

6. Построение графика

Функция имеет экстремумы в точках ( x = 1 ) и ( x = 2 ), а также точку перегиба в ( x = 1.5 ). Используем полученные результаты для построения графика.

Функция 2: ( y = \ln \left(\frac{x - 1}{x + 2} \right) )

1. Область определения

Функция определена, если подлогарифмическое выражение положительно:
\frac{x - 1}{x + 2} > 0
Решаем неравенство:

• Числитель ( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 ).
• Знаменатель ( x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2 ).

Рассматриваем знаки дроби:

• При ( x < -2 ) дробь отрицательна (не подходит).
• При ( -2 < x < 1 ) дробь отрицательна (не подходит).
• При ( x > 1 ) дробь положительна (подходит).

Следовательно, область определения:
D(y) = (1; +\infty)

2. Асимптоты

• Вертикальная асимптота в точке ( x = -2 ) (так как знаменатель обращается в ноль).
• Горизонтальная асимптота:
  \lim\limits_{x \to +\infty} y = \ln(1) = 0

3. Производная

Используем правило дифференцирования логарифма:
y' = \frac{1}{\frac{x - 1}{x + 2}} \cdot \frac{(x + 2)(1) - (x - 1)(1)}{(x + 2)^2}
y' = \frac{(x + 2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{3}{(x - 1)(x + 2)}

Приравняем к нулю:
\frac{3}{(x - 1)(x + 2)} = 0
Решений нет, так как числитель не равен нулю.

4. Исследование на монотонность

Знаки производной:

• ( y' > 0 ) при ( x > 1 ), значит, функция возрастает.

5. Построение графика

Функция возрастает на ( (1; +\infty) ), имеет вертикальную асимптоту в ( x = -2 ) и горизонтальную асимптоту ( y = 0 ).

Вывод

Проведено полное исследование функций, найдены области определения, экстремумы, точки перегиба и асимптоты. На основе этих данных можно построить графики.