Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Провести полное исследование функции y=x^3/(4-x^2) и построить график, предварительно сделав таблицу
Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование функций
Рассмотрим функцию:
y = \frac{x^3}{4 - x^2}
Наша цель — провести полное исследование функции и построить её график. Для этого выполним следующие шаги:
Функция имеет знаменатель 4 - x^2, который не должен быть равен нулю:
4 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne \pm 2
Область определения: D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)
Нули функции — это значения x, при которых y = 0:
\frac{x^3}{4 - x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0
Ноль функции: x = 0
Вертикальные асимптоты находятся в тех точках, где функция стремится к бесконечности, то есть в точках разрыва:
x = \pm 2
Проверим поведение функции около x = 2 и x = -2:
Аналогично:
Вертикальные асимптоты: x = -2 и x = 2
Предел при x \to \infty:
\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{4 - x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{-x^2(1 - \frac{4}{x^2})} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1 - \frac{4}{x^2}} = -\infty
Аналогично при x \to -\infty: y \to \infty
Следовательно, горизонтальных асимптот нет. Попробуем найти наклонную асимптоту:
Разделим числитель на знаменатель:
\frac{x^3}{4 - x^2} = -x - \frac{4x}{4 - x^2}
Значит, при x \to \infty, функция приближается к прямой y = -x
Наклонная асимптота: y = -x
Функция:
y = \frac{x^3}{4 - x^2}
Применим правило производной дроби:
y' = \frac{(3x^2)(4 - x^2) - x^3(-2x)}{(4 - x^2)^2}
Посчитаем числитель:
3x^2(4 - x^2) + 2x^4 = 12x^2 - 3x^4 + 2x^4 = 12x^2 - x^4
Итак:
y' = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}
Найдём критические точки:
y' = 0 \Rightarrow 12x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(12 - x^2) = 0
Решения:
x = 0, x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3.46
Из них только x = 0 лежит в области определения. Остальные вне области определения, так как \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3.46 — попадают в допустимую область.
Проверим знак производной в интервалах:
x \in (-\infty, -2): например, x = -3
y' = \frac{12 \cdot 9 - 81}{(4 - 9)^2} = \frac{108 - 81}{25} = \frac{27}{25} > 0
x \in (-2, 0): например, x = -1
y' = \frac{12 - 1}{(4 - 1)^2} = \frac{11}{9} > 0
x \in (0, 2): например, x = 1
y' = \frac{12 - 1}{(4 - 1)^2} = \frac{11}{9} > 0
x \in (2, \infty): например, x = 3
y' = \frac{12 \cdot 9 - 81}{(4 - 9)^2} = \frac{108 - 81}{25} = \frac{27}{25} > 0
Вывод: функция возрастает на всех промежутках области определения.
Найдем y'':
Упростим сначала y' = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}
Обозначим:
u = 12x^2 - x^4,
v = (4 - x^2)^2
Тогда по правилу производной дроби:
y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Вычислим:
Подставим:
y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4)(-4x)(4 - x^2)}{(4 - x^2)^4}
Упростим числитель и решим y'' = 0 — найдем точки перегиба.
Это громоздкое выражение, поэтому проще воспользоваться графиком производной или численным методом.
Составим таблицу значений функции в характерных точках:
x | y = x³ / (4 - x²) |
---|---|
-3 | \frac{-27}{4 - 9} = \frac{-27}{-5} = 5.4 |
-2.1 | \approx \frac{-9.261}{4 - 4.41} = \frac{-9.261}{-0.41} \approx 22.6 |
-1 | \frac{-1}{4 - 1} = \frac{-1}{3} \approx -0.33 |
0 | 0 |
1 | \frac{1}{3} \approx 0.33 |
1.9 | \approx \frac{6.859}{4 - 3.61} = \frac{6.859}{0.39} \approx 17.6 |
3 | \frac{27}{4 - 9} = \frac{27}{-5} = -5.4 |
На основе анализа:
Функция y = \frac{x^3}{4 - x^2} определена при x \ne \pm 2, имеет вертикальные асимптоты в этих точках, наклонную асимптоту y = -x, возрастает на всей области определения, и имеет ноль в точке x = 0. График функции можно построить по полученной информации и таблице значений.