Провести полное исследование функции y=x^3/(4-x^2) и построить график, предварительно сделав таблицу

Условие:

Провести полное исследование функции y=x^3/(4-x^2) и построить график, предварительно сделав таблицу

Решение:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование функций


Рассмотрим функцию:

y = \frac{x^3}{4 - x^2}

Наша цель — провести полное исследование функции и построить её график. Для этого выполним следующие шаги:


1. Область определения функции

Функция имеет знаменатель 4 - x^2, который не должен быть равен нулю:

4 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne \pm 2

Область определения: D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)


2. Нули функции

Нули функции — это значения x, при которых y = 0:

\frac{x^3}{4 - x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0

Ноль функции: x = 0


3. Асимптоты

Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты находятся в тех точках, где функция стремится к бесконечности, то есть в точках разрыва:

x = \pm 2

Проверим поведение функции около x = 2 и x = -2:

  • При x \to 2^−: знаменатель 4 - x^2 \to 0^+, числитель x^3 \to 8y \to +\infty
  • При x \to 2^+: знаменатель 4 - x^2 \to 0^−, числитель x^3 \to 8y \to -\infty

Аналогично:

  • При x \to -2^−: y \to -\infty
  • При x \to -2^+: y \to +\infty

Вертикальные асимптоты: x = -2 и x = 2


Горизонтальные и наклонные асимптоты

Предел при x \to \infty:

\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{4 - x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{-x^2(1 - \frac{4}{x^2})} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1 - \frac{4}{x^2}} = -\infty

Аналогично при x \to -\infty: y \to \infty

Следовательно, горизонтальных асимптот нет. Попробуем найти наклонную асимптоту:

Разделим числитель на знаменатель:

\frac{x^3}{4 - x^2} = -x - \frac{4x}{4 - x^2}

Значит, при x \to \infty, функция приближается к прямой y = -x

Наклонная асимптота: y = -x


4. Производная функции (исследование на монотонность и экстремумы)

Функция:
y = \frac{x^3}{4 - x^2}

Применим правило производной дроби:

y' = \frac{(3x^2)(4 - x^2) - x^3(-2x)}{(4 - x^2)^2}

Посчитаем числитель:

3x^2(4 - x^2) + 2x^4 = 12x^2 - 3x^4 + 2x^4 = 12x^2 - x^4

Итак:

y' = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}

Найдём критические точки:

y' = 0 \Rightarrow 12x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(12 - x^2) = 0

Решения:

x = 0, x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3.46

Из них только x = 0 лежит в области определения. Остальные вне области определения, так как \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3.46 — попадают в допустимую область.

Проверим знак производной в интервалах:

  • x \in (-\infty, -2): например, x = -3
    y' = \frac{12 \cdot 9 - 81}{(4 - 9)^2} = \frac{108 - 81}{25} = \frac{27}{25} > 0

  • x \in (-2, 0): например, x = -1
    y' = \frac{12 - 1}{(4 - 1)^2} = \frac{11}{9} > 0

  • x \in (0, 2): например, x = 1
    y' = \frac{12 - 1}{(4 - 1)^2} = \frac{11}{9} > 0

  • x \in (2, \infty): например, x = 3
    y' = \frac{12 \cdot 9 - 81}{(4 - 9)^2} = \frac{108 - 81}{25} = \frac{27}{25} > 0

Вывод: функция возрастает на всех промежутках области определения.


5. Вторичная производная (выпуклость и точки перегиба)

Найдем y'':

Упростим сначала y' = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}

Обозначим:

u = 12x^2 - x^4,
v = (4 - x^2)^2

Тогда по правилу производной дроби:

y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Вычислим:

  • u' = 24x - 4x^3
  • v = (4 - x^2)^2
  • v' = 2(4 - x^2)(-2x) = -4x(4 - x^2)

Подставим:

y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4)(-4x)(4 - x^2)}{(4 - x^2)^4}

Упростим числитель и решим y'' = 0 — найдем точки перегиба.

Это громоздкое выражение, поэтому проще воспользоваться графиком производной или численным методом.


6. Таблица значений

Составим таблицу значений функции в характерных точках:

xy = x³ / (4 - x²)
-3\frac{-27}{4 - 9} = \frac{-27}{-5} = 5.4
-2.1\approx \frac{-9.261}{4 - 4.41} = \frac{-9.261}{-0.41} \approx 22.6
-1\frac{-1}{4 - 1} = \frac{-1}{3} \approx -0.33
00
1\frac{1}{3} \approx 0.33
1.9\approx \frac{6.859}{4 - 3.61} = \frac{6.859}{0.39} \approx 17.6
3\frac{27}{4 - 9} = \frac{27}{-5} = -5.4

7. График функции

На основе анализа:

  • Нули: x = 0
  • Вертикальные асимптоты: x = \pm 2
  • Наклонная асимптота: y = -x
  • Функция возрастает на всей области определения
  • Симметрии нет (нечетная функция: f(-x) = -f(x))

Ответ:

Функция y = \frac{x^3}{4 - x^2} определена при x \ne \pm 2, имеет вертикальные асимптоты в этих точках, наклонную асимптоту y = -x, возрастает на всей области определения, и имеет ноль в точке x = 0. График функции можно построить по полученной информации и таблице значений.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн