Провести полное исследование функции y=x^3/(4-x^2) и построить график, предварительно сделав таблицу

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование функций

Рассмотрим функцию:

y = \frac{x^3}{4 - x^2}

Наша цель — провести полное исследование функции и построить её график. Для этого выполним следующие шаги:

1. Область определения функции

Функция имеет знаменатель 4 - x^2, который не должен быть равен нулю:

4 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne \pm 2

Область определения: D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)

2. Нули функции

Нули функции — это значения x, при которых y = 0:

\frac{x^3}{4 - x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0

Ноль функции: x = 0

3. Асимптоты

Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты находятся в тех точках, где функция стремится к бесконечности, то есть в точках разрыва:

x = \pm 2

Проверим поведение функции около x = 2 и x = -2:

• При x \to 2^−: знаменатель 4 - x^2 \to 0^+, числитель x^3 \to 8 → y \to +\infty
• При x \to 2^+: знаменатель 4 - x^2 \to 0^−, числитель x^3 \to 8 → y \to -\infty

Аналогично:

• При x \to -2^−: y \to -\infty
• При x \to -2^+: y \to +\infty

Вертикальные асимптоты: x = -2 и x = 2

Горизонтальные и наклонные асимптоты

Предел при x \to \infty:

\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{4 - x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{-x^2(1 - \frac{4}{x^2})} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1 - \frac{4}{x^2}} = -\infty

Аналогично при x \to -\infty: y \to \infty

Следовательно, горизонтальных асимптот нет. Попробуем найти наклонную асимптоту:

Разделим числитель на знаменатель:

\frac{x^3}{4 - x^2} = -x - \frac{4x}{4 - x^2}

Значит, при x \to \infty, функция приближается к прямой y = -x

Наклонная асимптота: y = -x

4. Производная функции (исследование на монотонность и экстремумы)

Функция:
y = \frac{x^3}{4 - x^2}

Применим правило производной дроби:

y' = \frac{(3x^2)(4 - x^2) - x^3(-2x)}{(4 - x^2)^2}

Посчитаем числитель:

3x^2(4 - x^2) + 2x^4 = 12x^2 - 3x^4 + 2x^4 = 12x^2 - x^4

Итак:

y' = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}

Найдём критические точки:

y' = 0 \Rightarrow 12x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(12 - x^2) = 0

Решения:

x = 0, x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3.46

Из них только x = 0 лежит в области определения. Остальные вне области определения, так как \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3.46 — попадают в допустимую область.

Проверим знак производной в интервалах:

• x \in (-\infty, -2): например, x = -3
  y' = \frac{12 \cdot 9 - 81}{(4 - 9)^2} = \frac{108 - 81}{25} = \frac{27}{25} > 0

• x \in (-2, 0): например, x = -1
  y' = \frac{12 - 1}{(4 - 1)^2} = \frac{11}{9} > 0

• x \in (0, 2): например, x = 1
  y' = \frac{12 - 1}{(4 - 1)^2} = \frac{11}{9} > 0

• x \in (2, \infty): например, x = 3
  y' = \frac{12 \cdot 9 - 81}{(4 - 9)^2} = \frac{108 - 81}{25} = \frac{27}{25} > 0

Вывод: функция возрастает на всех промежутках области определения.

5. Вторичная производная (выпуклость и точки перегиба)

Найдем y'':

Упростим сначала y' = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}

Обозначим:

u = 12x^2 - x^4,
v = (4 - x^2)^2

Тогда по правилу производной дроби:

y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Вычислим:

• u' = 24x - 4x^3
• v = (4 - x^2)^2
• v' = 2(4 - x^2)(-2x) = -4x(4 - x^2)

Подставим:

y'' = \frac{(24x - 4x^3)(4 - x^2)^2 - (12x^2 - x^4)(-4x)(4 - x^2)}{(4 - x^2)^4}

Упростим числитель и решим y'' = 0 — найдем точки перегиба.

Это громоздкое выражение, поэтому проще воспользоваться графиком производной или численным методом.

6. Таблица значений

Составим таблицу значений функции в характерных точках:

7. График функции

На основе анализа:

• Нули: x = 0
• Вертикальные асимптоты: x = \pm 2
• Наклонная асимптота: y = -x
• Функция возрастает на всей области определения
• Симметрии нет (нечетная функция: f(-x) = -f(x))

Ответ:

Функция y = \frac{x^3}{4 - x^2} определена при x \ne \pm 2, имеет вертикальные асимптоты в этих точках, наклонную асимптоту y = -x, возрастает на всей области определения, и имеет ноль в точке x = 0. График функции можно построить по полученной информации и таблице значений.