Провести полное исследование функции на нахождение точек перегиба

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций, дифференциальное исчисление

Проведём полное исследование функции y = \frac{x^3}{1 + x^2} на наличие точек перегиба.

1. Найдём первую производную

Используем правило дифференцирования частного:

 y' = \frac{(1 + x^2) \cdot 3x^2 - x^3 \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} 

Упрощаем числитель:

 y' = \frac{3x^2 + 3x^4 - 2x^4}{(1 + x^2)^2} = \frac{3x^2 + x^4}{(1 + x^2)^2} 

2. Найдём вторую производную

Используем правило производной частного:

 y'' = \frac{(1 + x^2)^2 \cdot (6x + 4x^3) - (3x^2 + x^4) \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} 

Раскрываем скобки:

 y'' = \frac{(6x + 4x^3)(1 + 2x^2 + x^4) - 2x(3x^2 + x^4)(2 + 2x^2)}{(1 + x^2)^4} 

После упрощения числителя получаем:

 y'' = \frac{6x + 16x^3 + 12x^5 + 4x^7 - (12x^3 + 10x^5 + 2x^7)}{(1 + x^2)^4} 

 y'' = \frac{6x + 4x^3 + 2x^5 + 2x^7}{(1 + x^2)^4} 

3. Найдём точки перегиба

Точки перегиба находятся из уравнения y'' = 0:

 6x + 4x^3 + 2x^5 + 2x^7 = 0 

Вынесем общий множитель 2x:

 2x(3 + 2x^2 + x^4 + x^6) = 0 

Решаем уравнение 2x = 0, получаем x = 0.

Оставшееся выражение 3 + 2x^2 + x^4 + x^6 = 0 не имеет действительных решений, так как сумма квадратов не может быть отрицательной.

Таким образом, единственная точка перегиба — x = 0.

4. Проверка на перегиб

Находим y(0):

 y(0) = \frac{0^3}{1 + 0^2} = 0 

Следовательно, точка перегиба — (0, 0).

Ответ:

Функция y = \frac{x^3}{1 + x^2} имеет единственную точку перегиба в точке (0, 0).