Провести полное исследование функции и построить её график

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функции

Исследуем функцию:
y = x^3 e^x

1. Область определения

Функция определена при всех значениях x, так как многочлен x^3 и экспонента e^x определены на всей числовой прямой.

Ответ: D(y) = (-\infty; +\infty)

2. Нули функции

Найдем точки, в которых y = 0:
x^3 e^x = 0
Экспонента e^x никогда не равна нулю, поэтому:
x^3 = 0 \Rightarrow x = 0

Вывод: Функция имеет единственный нуль в точке x = 0.

3. Асимптоты

• Вертикальных асимптот нет, так как функция определена всюду.
• Горизонтальных асимптот нет, так как экспоненциальная часть e^x растет быстрее, чем любое многочленное выражение.
• Наклонные асимптоты:
  Рассмотрим предел при x \to -\infty:
  \lim\limits_{x \to -\infty} x^3 e^x = 0
  Это значит, что функция стремится к нулю слева.

4. Производная

Найдем первую производную:
y' = (x^3 e^x)' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = e^x (3x^2 + x^3)

Найдем критические точки:
e^x (3x^2 + x^3) = 0
Поскольку e^x \neq 0, то:
3x^2 + x^3 = 0
x^2(3 + x) = 0
Отсюда:
x^2 = 0 \Rightarrow x = 0
3 + x = 0 \Rightarrow x = -3

5. Исследование на экстремумы

Рассмотрим знак y' в интервалах:

1. При x < -3:
   Выбираем x = -4:
   3(-4)^2 + (-4)^3 = 48 - 64 = -16 (отрицательно)
2. При -3 < x < 0:
   Выбираем x = -1:
   3(-1)^2 + (-1)^3 = 3 - 1 = 2 (положительно)
3. При x > 0:
   Выбираем x = 1:
   3(1)^2 + (1)^3 = 3 + 1 = 4 (положительно)

Вывод:

• В точке x = -3 функция имеет минимум.
• В точке x = 0 экстремума нет, так как производная не меняет знак.

Найдем значение функции в точке минимума:
y(-3) = (-3)^3 e^{-3} = -27 e^{-3}

6. Вторая производная

Найдем y'' для исследования на выпуклость:
y'' = (e^x (3x^2 + x^3))' = e^x (6x + 3x^2 + x^3) + e^x (3x^2 + x^3)
y'' = e^x (6x + 3x^2 + x^3 + 3x^2 + x^3) = e^x (6x + 6x^2 + 2x^3)
y'' = e^x (2x (3 + 3x + x^2))

Найдем точки перегиба:
2x (3 + 3x + x^2) = 0
x = 0 или решаем квадратное уравнение x^2 + 3x + 3 = 0.
Дискриминант: D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3, корней нет.

Вывод: единственная точка перегиба x = 0.

7. Построение графика

На основании проведенного исследования строим график:

• Функция убывает на (-\infty, -3), возрастает на (-3, +\infty).
• Минимум в точке x = -3, y = -27 e^{-3}.
• Нуль функции в точке x = 0.
• Точка перегиба в x = 0.
• При x \to +\infty функция стремится к +\infty, при x \to -\infty стремится к 0.

График строится на основе этих данных.