Провести полное исследование функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, исследование функции

Рассмотрим функцию:

y = (4 - x)e^{x - 3}

Наша задача — провести полное исследование функции, найти:

1. Область определения
2. Нули функции
3. Поведение на бесконечности
4. Асимптоты (если есть)
5. Производные (первая и вторая)
6. Промежутки возрастания и убывания
7. Точки экстремума
8. Выпуклость и точки перегиба
9. Построить график

1. Область определения

Функция y = (4 - x)e^{x - 3} определена при всех x \in \mathbb{R}, так как экспонента определена всюду, и линейная функция 4 - x также определена всюду.

Ответ: D(y) = \mathbb{R}

2. Нули функции

Нули функции — это значения x, при которых y = 0:

 (4 - x)e^{x - 3} = 0 

Поскольку e^{x - 3} \neq 0 для любого x, то:

 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 

Ответ: Нуль функции: x = 4

3. Поведение на бесконечности

Исследуем пределы функции при x \to \pm \infty:

• При x \to +\infty:

 y = (4 - x)e^{x - 3} \approx -x e^{x} \to -\infty 

Так как e^x растет быстрее, чем линейная функция, а 4 - x \to -\infty, то произведение стремится к -\infty.

• При x \to -\infty:

 y = (4 - x)e^{x - 3} \approx (+\infty) \cdot 0 \Rightarrow y \to 0 

Так как 4 - x \to +\infty, но e^{x - 3} \to 0, и экспонента убывает быстрее, получаем:

 \lim_{x \to -\infty} y = 0 

Ответ:

• \lim_{x \to +\infty} y = -\infty
• \lim_{x \to -\infty} y = 0

4. Асимптоты

Горизонтальные:

\lim_{x \to \pm\infty} y рассмотрены выше.

• Горизонтальная асимптота при x \to -\infty: y = 0

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена всюду.

Косая асимптота:

Проверим наличие косой асимптоты при x \to +\infty. Для этого рассмотрим предел:

 \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(4 - x)e^{x - 3}}{x} 

Числитель стремится к -\infty \cdot \infty = -\infty, знаменатель — к +\infty, но точного значения не получим, поэтому косой асимптоты нет.

Ответ: Горизонтальная асимптота: y = 0 при x \to -\infty

5. Первая производная

Применим правило произведения:

 y = (4 - x)e^{x - 3} 

 y' = \frac{d}{dx}[(4 - x)e^{x - 3}] = (4 - x)\cdot \frac{d}{dx}[e^{x - 3}] + e^{x - 3} \cdot \frac{d}{dx}[4 - x] 

 y' = (4 - x)e^{x - 3} + (-1)e^{x - 3} = (4 - x - 1)e^{x - 3} = (3 - x)e^{x - 3} 

6. Промежутки возрастания и убывания

Рассматриваем знак производной:

 y' = (3 - x)e^{x - 3} 

Поскольку e^{x - 3} > 0 для любого x, знак производной зависит от 3 - x:

• Если x < 3, то y' > 0 — функция возрастает
• Если x > 3, то y' < 0 — функция убывает

Ответ:

• Функция возрастает на (-\infty; 3)
• Функция убывает на (3; +\infty)

7. Точки экстремума

Производная равна нулю при 3 - x = 0 \Rightarrow x = 3

В этой точке производная меняет знак с плюса на минус → максимум

Найдем значение функции:

 y(3) = (4 - 3)e^{3 - 3} = 1 \cdot e^0 = 1 

Ответ: Точка максимума: (3; 1)

8. Вторая производная

Найдём y'':

 y' = (3 - x)e^{x - 3} 

Применим правило произведения к y':

 y'' = \frac{d}{dx}[(3 - x)e^{x - 3}] = (3 - x)e^{x - 3} + (-1)e^{x - 3} = (2 - x)e^{x - 3} 

Анализ выпуклости:

• y'' > 0 при x < 2 — график выпуклый вверх
• y'' < 0 при x > 2 — график выпуклый вниз

Точка перегиба: y'' = 0 \Rightarrow x = 2

 y(2) = (4 - 2)e^{-1} = 2e^{-1} \approx 0.7358 

Ответ: Точка перегиба: (2; \frac{2}{e})

9. График

Ключевые точки:

• Нуль: x = 4
• Максимум: (3; 1)
• Точка перегиба: (2; \frac{2}{e})
• Горизонтальная асимптота: y = 0 при x \to -\infty

Функция возрастает до x = 3, затем убывает. При x \to -\infty стремится к 0, при x \to +\infty — к -\infty.

Если хочешь, я могу построить график этой функции с помощью Python (matplotlib) — напиши об этом.