Проведите исследование функции и постройте её график

Предмет: Математика
Раздел: Исследование функций и построение графиков

Для исследования функции y = 2x^3 - 3x^2 - 4, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции

Функция y = 2x^3 - 3x^2 - 4 является многочленом, поэтому она определена на всей числовой прямой:
D(y) = (-\infty; +\infty).

2. Найти производную функции

Первая производная функции используется для исследования на возрастание и убывание, а также для нахождения критических точек.

y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 4) = 6x^2 - 6x.

3. Найти критические точки

Критические точки находятся из уравнения y' = 0:
6x^2 - 6x = 0.
Вынесем общий множитель:
6x(x - 1) = 0.
Решения:
x = 0 и x = 1.

Критические точки: x = 0 и x = 1.

4. Исследовать знак первой производной

Рассмотрим интервалы, на которые разбивается числовая прямая критическими точками:
(-\infty; 0), (0; 1), (1; +\infty).

Подставим значения из каждого интервала в производную y' = 6x^2 - 6x:

• На интервале (-\infty; 0):
  Возьмем точку x = -1:
  y' = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0.
  Здесь y' > 0, функция возрастает.

• На интервале (0; 1):
  Возьмем точку x = 0.5:
  y' = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0.
  Здесь y' < 0, функция убывает.

• На интервале (1; +\infty):
  Возьмем точку x = 2:
  y' = 6(2)^2 - 6(2) = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12 > 0.
  Здесь y' > 0, функция возрастает.

Итак, функция возрастает на интервалах (-\infty; 0) и (1; +\infty), убывает на интервале (0; 1).

5. Найти точки экстремума

Точки экстремума находятся в критических точках:

• Для x = 0:
  Подставим в функцию:
  y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 4 = -4.
  Здесь максимум, так как функция меняет знак производной с + на -.
  Точка максимума: (0, -4).

• Для x = 1:
  Подставим в функцию:
  y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4 = 2 - 3 - 4 = -5.
  Здесь минимум, так как функция меняет знак производной с - на +.
  Точка минимума: (1, -5).

6. Найти вторую производную

Вторая производная используется для исследования выпуклости и вогнутости функции.

y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) = 12x - 6.

7. Найти точки перегиба

Точки перегиба находятся из уравнения y'' = 0:
12x - 6 = 0.
x = 0.5.

Подставим x = 0.5 в функцию:
y(0.5) = 2(0.5)^3 - 3(0.5)^2 - 4 = 2(0.125) - 3(0.25) - 4 = 0.25 - 0.75 - 4 = -4.5.

Точка перегиба: (0.5, -4.5).

8. Исследовать знак второй производной

Рассмотрим интервалы, на которые разбивается числовая прямая точкой x = 0.5:
(-\infty; 0.5) и (0.5; +\infty).

• На интервале (-\infty; 0.5):
  Возьмем точку x = 0:
  y'' = 12(0) - 6 = -6 < 0.
  Здесь y'' < 0, функция вогнута.

• На интервале (0.5; +\infty):
  Возьмем точку x = 1:
  y'' = 12(1) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0.
  Здесь y'' > 0, функция выпукла.

9. Построение графика

На основании проведенного исследования:

• Функция возрастает на (-\infty; 0) и (1; +\infty).
• Функция убывает на (0; 1).
• Точка максимума: (0, -4).
• Точка минимума: (1, -5).
• Точка перегиба: (0.5, -4.5).
• Функция вогнута на (-\infty; 0.5) и выпукла на (0.5; +\infty).

График можно построить, отметив все ключевые точки и характеристики.

Для визуализации графика можно использовать, например, Python (с помощью библиотеки Matplotlib). Вот пример кода:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаем функцию
def f(x):
    return 2*x**3 - 3*x**2 - 4

# Генерируем значения x
x = np.linspace(-2, 2, 500)
y = f(x)

# Строим график
plt.plot(x, y, label='y = 2x^3 - 3x^2 - 4', color='blue')
plt.scatter([0, 1, 0.5], [-4, -5, -4.5], color='red', label='Ключевые точки')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--')
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5, linestyle='--')
plt.title('График функции y = 2x^3 - 3x^2 - 4')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()