Построить графики следующих функций с точками разрыва на одном листе, а также построить их асимптоты

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование функций, построение графиков, асимптоты, точки разрыва.

Условие задания:

Построить графики следующих функций с точками разрыва на одном листе, а также построить их асимптоты:

Вариант 1:

1. \[ f_1(x) = \frac{x}{x + 1} \]
2. \[ f_2(x) = \frac{\ln x}{x - 3} \]
3. \[ f_3(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \]

Теория и анализ функций

1. Функция \[ f_1(x) = \frac{x}{x + 1} \]

• Область определения: \[ x \ne -1 \] (деление на 0)
• Вертикальная асимптота: \[ x = -1 \]
• Горизонтальная асимптота: предел при \[ x \to \pm\infty \]: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = 1 \] ⇒ горизонтальная асимптота: \[ y = 1 \]

2. Функция \[ f_2(x) = \frac{\ln x}{x - 3} \]

• Область определения: \[ x > 0, x \ne 3 \]
• Вертикальная асимптота: \[ x = 3 \]
• Особенность: логарифмическая функция, медленно растёт, точка разрыва в \[ x = 3 \]

3. Функция \[ f_3(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \]

• Разложим числитель и знаменатель:
  • \[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
  • \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
• После сокращения: \[ f_3(x) = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}, \quad x \ne -1 \]
• Точки разрыва:
  • x = -1 — устранимая (после сокращения)
  • x = 1 — разрыв второго рода (деление на 0)
• Вертикальная асимптота: \[ x = 1 \]

Построение графиков в Excel

Шаги:

1. Создайте таблицу значений: В Excel создайте столбец значений x от -10 до 10 с шагом 0.1 (или меньше для гладкости графика).
2. Вычислите значения функций:В соседних столбцах используйте формулы Excel:
   • =A2/(A2+1) для \[ f_1(x) \]
   • =LN(A2)/(A2-3) для \[ f_2(x) \], при условии \[ A2 > 0 \]
   • =(A2^3 + 1)/(A2^2 - 1) для \[ f_3(x) \]
3. Постройте графики:
   • Выделите все столбцы и постройте график типа "График с линиями".
4. Добавьте асимптоты:
   • Добавьте вертикальные линии для асимптот (например, вручную или с помощью графика линии по x = const).
   • Горизонтальные асимптоты можно добавить как новые ряды с постоянным значением y.

Как выглядят асимптоты:

Если хочешь, я могу подготовить готовый Excel-файл с графиками. Напиши — и я объясню, как его построить пошагово или предоставлю шаблон.