Excel выполнить формулы и т.д.
Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование функций, построение графиков, асимптоты, точки разрыва.
Условие задания:
Построить графики следующих функций с точками разрыва на одном листе, а также построить их асимптоты:
Вариант 1:
- \[ f_1(x) = \frac{x}{x + 1} \]
- \[ f_2(x) = \frac{\ln x}{x - 3} \]
- \[ f_3(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \]
Теория и анализ функций
1. Функция \[ f_1(x) = \frac{x}{x + 1} \]
- Область определения: \[ x \ne -1 \] (деление на 0)
- Вертикальная асимптота: \[ x = -1 \]
- Горизонтальная асимптота: предел при \[ x \to \pm\infty \]: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = 1 \] ⇒ горизонтальная асимптота: \[ y = 1 \]
2. Функция \[ f_2(x) = \frac{\ln x}{x - 3} \]
- Область определения: \[ x > 0, x \ne 3 \]
- Вертикальная асимптота: \[ x = 3 \]
- Особенность: логарифмическая функция, медленно растёт, точка разрыва в \[ x = 3 \]
3. Функция \[ f_3(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \]
- Разложим числитель и знаменатель:
- \[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
- \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
- После сокращения: \[ f_3(x) = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}, \quad x \ne -1 \]
- Точки разрыва:
- x = -1 — устранимая (после сокращения)
- x = 1 — разрыв второго рода (деление на 0)
- Вертикальная асимптота: \[ x = 1 \]
Построение графиков в Excel
Шаги:
- Создайте таблицу значений: В Excel создайте столбец значений x от -10 до 10 с шагом 0.1 (или меньше для гладкости графика).
- Вычислите значения функций:В соседних столбцах используйте формулы Excel:
=A2/(A2+1)
для \[ f_1(x) \]=LN(A2)/(A2-3)
для \[ f_2(x) \], при условии \[ A2 > 0 \]=(A2^3 + 1)/(A2^2 - 1)
для \[ f_3(x) \]
- Постройте графики:
- Выделите все столбцы и постройте график типа "График с линиями".
- Добавьте асимптоты:
- Добавьте вертикальные линии для асимптот (например, вручную или с помощью графика линии по x = const).
- Горизонтальные асимптоты можно добавить как новые ряды с постоянным значением y.
Как выглядят асимптоты:
Функция | Вертикальные асимптоты | Горизонтальные асимптоты |
---|
\[ \frac{x}{x+1} \] | \[ x = -1 \] | \[ y = 1 \] |
\[ \frac{\ln x}{x-3} \] | \[ x = 3 \] | нет |
\[ \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \] | \[ x = 1 \] | нет |
Если хочешь, я могу подготовить готовый Excel-файл с графиками. Напиши — и я объясню, как его построить пошагово или предоставлю шаблон.