Поиск наибольшего и наименьшего значений на отрезке

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функции (поиск наибольшего и наименьшего значений на отрезке)

Рассмотрим первый пункт задания 57:
Найти наименьшее и наибольшее значения функции

y = x^2 - 4x + 1

на отрезке [-3;3].

Шаг 1: Определение метода решения

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно:

1. Найти значения функции в концах отрезка.
2. Найти критические точки внутри отрезка (где производная равна нулю).
3. Вычислить значения функции в этих точках.
4. Выбрать наибольшее и наименьшее из найденных значений.

Шаг 2: Найдём производную функции

Производная функции показывает скорость изменения функции. Критические точки — это точки, где производная равна нулю.

Функция:
y = x^2 - 4x + 1

Находим производную:
y' = \frac{d}{dx} (x^2 - 4x + 1)

Применяем правила дифференцирования:

• Производная x^2 равна 2x.
• Производная -4x равна -4.
• Производная константы 1 равна 0.

Получаем:
y' = 2x - 4

Шаг 3: Найдём критические точки

Критические точки — это точки, где производная равна нулю:

2x - 4 = 0

Решаем уравнение:

2x = 4

x = 2

Эта точка лежит внутри отрезка [-3;3], значит, её нужно учитывать.

Шаг 4: Вычисляем значения функции в критической точке и концах отрезка

Подставляем x = -3, x = 3 и x = 2 в исходную функцию:

1. В точке x = -3:
   y(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 1
   = 9 + 12 + 1 = 22

2. В точке x = 3:
   y(3) = (3)^2 - 4(3) + 1
   = 9 - 12 + 1 = -2

3. В критической точке x = 2:
   y(2) = (2)^2 - 4(2) + 1
   = 4 - 8 + 1 = -3

Шаг 5: Выбираем наибольшее и наименьшее значения

Сравним найденные значения:

• y(-3) = 22
• y(3) = -2
• y(2) = -3

Наибольшее значение: 22 (достигается в точке x = -3).
Наименьшее значение: -3 (достигается в точке x = 2).

Ответ:

• Наибольшее значение: y_{\max} = 22 в точке x = -3.
• Наименьшее значение: y_{\min} = -3 в точке x = 2.