Необходимо исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций (монотонность и экстремумы)

Дана функция:

$g(x)=\frac{x}{x-5}$

Необходимо исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы.

Шаг 1. Найдем область определения функции

Функция имеет знаменатель $x-5$, поэтому он не должен быть равен нулю:

$x-5\ne 0⟹x\ne 5$

Таким образом, область определения функции:

$D(g)=\mathbb{R}\setminus \{5\}$

Шаг 2. Найдем производную функции

Используем правило дифференцирования дробной функции:

$g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},g^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$

Здесь $u(x)=x$ и $v(x)=x-5$. Тогда:

$u^{\prime }(x)=1,v^{\prime }(x)=1$

Подставляем в формулу:

$g^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-5)-x\cdot 1}{(x-5{)}^2}=\frac{x-5-x}{(x-5{)}^2}=\frac{-5}{(x-5{)}^2}$

Шаг 3. Исследуем знак производной

Производная:

$g^{\prime }(x)=\frac{-5}{(x-5{)}^2}$

• Знаменатель $(x-5{)}^2>0$ для всех $x\ne 5$, так как квадрат всегда положителен.
• Числитель $-5$ отрицателен.

Следовательно, $g^{\prime }(x)<0$ для всех $x\ne 5$.

Шаг 4. Вывод о монотонности

Так как $g^{\prime }(x)<0$ на всей области определения, функция $g(x)$ убывает на каждом из промежутков:

$(-\mathrm{\infty };5)$ и $(5;+\mathrm{\infty })$.

Шаг 5. Проверим наличие экстремумов

Функция убывает на каждом из промежутков, поэтому экстремумов нет.

Ответ:

1. Область определения: $D(g)=\mathbb{R}\setminus \{5\}$.
2. Монотонность: Функция убывает на промежутках $(-\mathrm{\infty };5)$ и $(5;+\mathrm{\infty })$.
3. Экстремумы: Экстремумов нет.