Необходимо исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы

Предмет: Математика

Раздел: Исследование функций (монотонность и экстремумы)

Дана функция:

g(x) = \frac{x}{x - 5}

Необходимо исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы.

Шаг 1. Найдем область определения функции

Функция имеет знаменатель x - 5, поэтому он не должен быть равен нулю:

x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5

Таким образом, область определения функции:

D(g) = \mathbb{R} \setminus \{5\}

Шаг 2. Найдем производную функции

Используем правило дифференцирования дробной функции:

g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}, \quad g'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}

Здесь u(x) = x и v(x) = x - 5. Тогда:

u'(x) = 1, \quad v'(x) = 1

Подставляем в формулу:

g'(x) = \frac{1 \cdot (x - 5) - x \cdot 1}{(x - 5)^2} = \frac{x - 5 - x}{(x - 5)^2} = \frac{-5}{(x - 5)^2}

Шаг 3. Исследуем знак производной

Производная:

g'(x) = \frac{-5}{(x - 5)^2}

• Знаменатель (x - 5)^2 > 0 для всех x \neq 5, так как квадрат всегда положителен.
• Числитель -5 отрицателен.

Следовательно, g'(x) < 0 для всех x \neq 5.

Шаг 4. Вывод о монотонности

Так как g'(x) < 0 на всей области определения, функция g(x) убывает на каждом из промежутков:

(-\infty; 5) и (5; +\infty).

Шаг 5. Проверим наличие экстремумов

Функция убывает на каждом из промежутков, поэтому экстремумов нет.

Ответ:

1. Область определения: D(g) = \mathbb{R} \setminus \{5\}.
2. Монотонность: Функция убывает на промежутках (-\infty; 5) и (5; +\infty).
3. Экстремумы: Экстремумов нет.