Найти такие размеры, при которых площадь будет максимальной

Задание относится к предмету "Математика", раздел "Исследование функций и оптимизация".

Рассмотрим задачу №2:

Дано:

Пластинка состоит из прямоугольника и двух полукругов на противоположных сторонах. Периметр контура пластинки равен 100 дм. Нужно найти такие размеры, при которых площадь будет максимальной.

Обозначения:

• Пусть ширина прямоугольника — x.
• Длина прямоугольника — y.
• Радиус полукруга — r, тогда диаметр каждого полукруга равен x, то есть r = \frac{x}{2}.

Выражение для периметра:

Периметр состоит из:

1. Двух сторон прямоугольника: 2y.
2. Длины окружностей двух полукругов: 2 \pi r = 2 \pi \frac{x}{2} = \pi x.

Таким образом, уравнение для периметра:

2y + \pi x = 100
Отсюда выразим y:

y = \frac{100 - \pi x}{2}.

Выражение для площади:

Площадь состоит из площади прямоугольника и двух полукругов:

S = xy + 2 \cdot \frac{1}{2} \pi r^2 = xy + \pi r^2.

Подставляя r = \frac{x}{2}:

S = xy + \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 = xy + \frac{\pi x^2}{4}.

Подставляем y:

S = x \cdot \frac{100 - \pi x}{2} + \frac{\pi x^2}{4}.

Нахождение максимума:

Функцию S(x) нужно исследовать на максимум, найдя производную и приравняв её к нулю:

\frac{dS}{dx} = \frac{100 - \pi x}{2} - \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi x}{2} = \frac{100 - 2\pi x}{2}.

Приравняем к нулю:

100 - 2\pi x = 0
x = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi}.

Подставляем x в выражение для y:

y = \frac{100 - \pi \cdot \frac{50}{\pi}}{2} = \frac{100 - 50}{2} = 25.

Ответ:

Оптимальные размеры пластинки:

• Ширина: \frac{50}{\pi} дм.
• Длина: 25 дм.