Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции, на отрезке

Предмет: Математика

Раздел: Производная и исследование функции

Для нахождения суммы наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо исследовать функцию и найти её экстремумы.

Дана функция:
y = 2x^3 + 3x^2 - 36x - 4
Отрезок: [-4; 1].

Шаг 1. Найдём производную функции

Вычислим первую производную:
y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 36x - 4) = 6x^2 + 6x - 36.

Шаг 2. Найдём критические точки

Критические точки находятся из условия y' = 0:
6x^2 + 6x - 36 = 0.

Разделим уравнение на 6:
x^2 + x - 6 = 0.

Решим квадратное уравнение:
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}.

Корни:
x_1 = 2, \, x_2 = -3.

Шаг 3. Проверим значения на границах отрезка и в критических точках

Критические точки x_1 = 2 и x_2 = -3. Однако, точка x_1 = 2 не входит в отрезок [-4; 1], поэтому её не рассматриваем.

Остаются точки:
x = -4, \, x = -3, \, x = 1.

Подставим их в функцию:

1. Для x = -4:
   y(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) - 4 = 2(-64) + 3(16) + 144 - 4 = -128 + 48 + 144 - 4 = 60.

2. Для x = -3:
   y(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) - 4 = 2(-27) + 3(9) + 108 - 4 = -54 + 27 + 108 - 4 = 77.

3. Для x = 1:
   y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 36(1) - 4 = 2(1) + 3(1) - 36 - 4 = 2 + 3 - 36 - 4 = -35.

Шаг 4. Найдём наибольшее и наименьшее значения

Наибольшее значение: y(-3) = 77.
Наименьшее значение: y(1) = -35.

Шаг 5. Найдём сумму

Сумма наибольшего и наименьшего значений:
77 + (-35) = 42.

Ответ:

42.