Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование функции с помощью производной
Нам дана функция:
Y = x^4 - 2x^2 + 3
Нужно:
- Найти первую и вторую производные.
- Найти критические точки.
- Определить интервалы возрастания и убывания функции.
- Найти точки экстремума.
- Определить интервалы выпуклости и вогнутости.
- Найти точки перегиба.
- Построить эскиз графика.
1. Первая производная
Найдем первую производную:
Y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x
Вынесем общий множитель:
Y' = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)
2. Критические точки
Решим уравнение Y' = 0:
4x(x - 1)(x + 1) = 0
Отсюда критические точки:
x = -1, 0, 1
3. Интервалы возрастания и убывания
Исследуем знак производной на интервалах:
- (-\infty, -1): выберем x = -2 → Y' = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -4 \cdot 3 \cdot 2 = -24 → функция убывает
- (-1, 0): x = -0.5 → Y' > 0 → функция возрастает
- (0, 1): x = 0.5 → Y' < 0 → функция убывает
- (1, +\infty): x = 2 → Y' > 0 → функция возрастает
4. Точки экстремума
- В точке x = -1: производная меняется с минуса на плюс → минимум
- В точке x = 0: производная меняется с плюса на минус → максимум
- В точке x = 1: производная меняется с минуса на плюс → минимум
Найдем значения функции в этих точках:
- Y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
- Y(0) = 0 - 0 + 3 = 3
- Y(1) = 1 - 2 + 3 = 2
5. Вторая производная
Y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4
6. Точки перегиба
Найдем где Y'' = 0:
12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
Исследуем знак второй производной:
- x < -\frac{1}{\sqrt{3}} → Y'' > 0 → выпуклость вверх
- -\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}} → Y'' < 0 → вогнутость
- x > \frac{1}{\sqrt{3}} → Y'' > 0 → выпуклость вверх
Следовательно, точки перегиба:
x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
7. Эскиз графика
Теперь можно построить эскиз графика, зная:
- Функция четная (так как все степени чётные).
- Точки экстремума: минимум в x = \pm 1, максимум в x = 0
- Точки перегиба: x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
- Поведение на бесконечности: Y \to +\infty при x \to \pm\infty
График будет симметричен относительно оси Oy, иметь максимум в начале координат и два минимума по бокам.
Если нужно, могу нарисовать эскиз графика.