Найти первую и вторую производные

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Исследование функции с помощью производной

Нам дана функция:

Y = x^4 - 2x^2 + 3

Нужно:

1. Найти первую и вторую производные.
2. Найти критические точки.
3. Определить интервалы возрастания и убывания функции.
4. Найти точки экстремума.
5. Определить интервалы выпуклости и вогнутости.
6. Найти точки перегиба.
7. Построить эскиз графика.

1. Первая производная

Найдем первую производную:

Y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x

Вынесем общий множитель:

Y' = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)

2. Критические точки

Решим уравнение Y' = 0:

4x(x - 1)(x + 1) = 0

Отсюда критические точки:

x = -1, 0, 1

3. Интервалы возрастания и убывания

Исследуем знак производной на интервалах:

• (-\infty, -1): выберем x = -2 → Y' = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -4 \cdot 3 \cdot 2 = -24 → функция убывает
• (-1, 0): x = -0.5 → Y' > 0 → функция возрастает
• (0, 1): x = 0.5 → Y' < 0 → функция убывает
• (1, +\infty): x = 2 → Y' > 0 → функция возрастает

4. Точки экстремума

• В точке x = -1: производная меняется с минуса на плюс → минимум
• В точке x = 0: производная меняется с плюса на минус → максимум
• В точке x = 1: производная меняется с минуса на плюс → минимум

Найдем значения функции в этих точках:

• Y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
• Y(0) = 0 - 0 + 3 = 3
• Y(1) = 1 - 2 + 3 = 2

5. Вторая производная

Y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4

6. Точки перегиба

Найдем где Y'' = 0:

12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

Исследуем знак второй производной:

• x < -\frac{1}{\sqrt{3}} → Y'' > 0 → выпуклость вверх
• -\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}} → Y'' < 0 → вогнутость
• x > \frac{1}{\sqrt{3}} → Y'' > 0 → выпуклость вверх

Следовательно, точки перегиба:

x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

7. Эскиз графика

Теперь можно построить эскиз графика, зная:

• Функция четная (так как все степени чётные).
• Точки экстремума: минимум в x = \pm 1, максимум в x = 0
• Точки перегиба: x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
• Поведение на бесконечности: Y \to +\infty при x \to \pm\infty

График будет симметричен относительно оси Oy, иметь максимум в начале координат и два минимума по бокам.

Если нужно, могу нарисовать эскиз графика.