Найти область определения функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функции)

Рассмотрим функцию:

y = \frac{2}{\tan x}

или, записано иначе:

y = 2 \cdot \cot x

где \cot x = \frac{1}{\tan x} — котангенс.

1. Область определения функции

Функция \tan x не определена в точках:

x = \frac{\pi}{2} + \pi n, где n \in \mathbb{Z}

Следовательно, \cot x также не определён в этих точках.

Область определения:

D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \}

2. Периодичность

Так как \cot x — периодическая функция с периодом \pi, то и функция y = 2 \cdot \cot x также периодическая с периодом:

T = \pi

3. Асимптоты

Функция имеет вертикальные асимптоты в точках:

x = \frac{\pi}{2} + \pi n, где n \in \mathbb{Z}

4. Чётность функции

Проверим:

y(-x) = 2 \cdot \cot(-x) = 2 \cdot (-\cot x) = -2 \cot x = -y(x)

Значит, функция нечётная: y(-x) = -y(x)

5. Промежутки возрастания и убывания

Функция \cot x убывает на каждом промежутке (0, \pi), следовательно, и y = 2 \cot x убывает на каждом интервале между асимптотами:

\left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{3\pi}{2} + \pi n\right)

6. График функции

График функции — это график \cot x, растянутый по оси Y в 2 раза.

Вывод:

Функция y = \frac{2}{\tan x}:

• Определена при x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n
• Периодическая с периодом \pi
• Имеет вертикальные асимптоты в точках x = \frac{\pi}{2} + \pi n
• Нечётная
• Убывает на каждом промежутке между асимптотами

Если нужно, могу построить график.